Esercizio con Mathematica
Salve a tutti.
Mi si chiede, in un esercizio (vedi fondo) di verificare la verità della seguente congettura che riporto testualmente:
La somma dei primi \(\displaystyle n \) numeri dispari è uguale ad \(\displaystyle n^2 \)
Io ho scritto il seguente codice su Mathematica:
\(\displaystyle F(\text{x$\_$})=\text{Sum}[i,\{i,1,x,2\}]\)
\(\displaystyle G(\text{x$\_$})=F(x)-x^2\)
\(\displaystyle \text{Grid}\left[\text{Table}\left[\left\{x,F(x),x^2,G(x)\right\},\{x,1,10\}\right]\right] \)
\(\displaystyle \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 4 & -3 \\
3 & 4 & 9 & -5 \\
4 & 4 & 16 & -12 \\
5 & 9 & 25 & -16 \\
6 & 9 & 36 & -27 \\
7 & 16 & 49 & -33 \\
8 & 16 & 64 & -48 \\
9 & 25 & 81 & -56 \\
10 & 25 & 100 & -75 \\
\end{array} \)
Ho scritto la funzione G e una tabella così dettagliata perché non riesco a trovarmi con l'affermazione del libro che come soluzione riporta:
La somma dei primi 1,2,3,...,9,10 numeri dispari è sempre un quadrato perfetto.
Fin qui mi trovo e basta guardare alla colonna due della mia tabella. Ma continua:
La congettura sembra essere vera.
Ecco qui non mi trovo affatto, e basta guardare la mia terza colonna per rendersene conto.
Esercizio Attività N.3 (Scheda 1)
Libro Matematica I
Cappuccio / Barozzi
Pitagora Editrice Bologna
ISBN: 88-371-0667-x
NB: il libro propone esercizi con DERIVE, ma non credo che cambiando software possa aver rivoluzionato l'esecuzione. Anzi si potrebbe fare anche con carta e penna.
Vi ringrazio sentitamente per l'attenzione che vorrete dedicarmi.
Mi si chiede, in un esercizio (vedi fondo) di verificare la verità della seguente congettura che riporto testualmente:
La somma dei primi \(\displaystyle n \) numeri dispari è uguale ad \(\displaystyle n^2 \)
Io ho scritto il seguente codice su Mathematica:
\(\displaystyle F(\text{x$\_$})=\text{Sum}[i,\{i,1,x,2\}]\)
\(\displaystyle G(\text{x$\_$})=F(x)-x^2\)
\(\displaystyle \text{Grid}\left[\text{Table}\left[\left\{x,F(x),x^2,G(x)\right\},\{x,1,10\}\right]\right] \)
\(\displaystyle \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 4 & -3 \\
3 & 4 & 9 & -5 \\
4 & 4 & 16 & -12 \\
5 & 9 & 25 & -16 \\
6 & 9 & 36 & -27 \\
7 & 16 & 49 & -33 \\
8 & 16 & 64 & -48 \\
9 & 25 & 81 & -56 \\
10 & 25 & 100 & -75 \\
\end{array} \)
Ho scritto la funzione G e una tabella così dettagliata perché non riesco a trovarmi con l'affermazione del libro che come soluzione riporta:
La somma dei primi 1,2,3,...,9,10 numeri dispari è sempre un quadrato perfetto.
Fin qui mi trovo e basta guardare alla colonna due della mia tabella. Ma continua:La congettura sembra essere vera.
Ecco qui non mi trovo affatto, e basta guardare la mia terza colonna per rendersene conto.Esercizio Attività N.3 (Scheda 1)
Libro Matematica I
Cappuccio / Barozzi
Pitagora Editrice Bologna
ISBN: 88-371-0667-x
NB: il libro propone esercizi con DERIVE, ma non credo che cambiando software possa aver rivoluzionato l'esecuzione. Anzi si potrebbe fare anche con carta e penna.
Vi ringrazio sentitamente per l'attenzione che vorrete dedicarmi.
Risposte
ciao Ildecarlo
ma devi proprio usare un software?
La somma dei primi $n$ interi si sa è $n/2(n+1)$
se consideri che l'n-esimo numero dispari lo puoi chiamare $(2n-1)$ (se vuoi per convincerti basta sostituire un $n$ qualsiasi) hai che la somma dei primi $n$ dispari è
$S=n/2 (2n-1+1)=n^2$
ma devi proprio usare un software?
La somma dei primi $n$ interi si sa è $n/2(n+1)$
se consideri che l'n-esimo numero dispari lo puoi chiamare $(2n-1)$ (se vuoi per convincerti basta sostituire un $n$ qualsiasi) hai che la somma dei primi $n$ dispari è
$S=n/2 (2n-1+1)=n^2$
Ciao mazzarri e grazie innanzi tutto per la risposta!
Si, lo scopo di questi esercizi, anche semplici, è familiarizzare con il software per verificare ipotesi ed utilizzarlo quando serve durante il corso.
Perfetto, fin qui non ci piove.
Ok, chiaramente la verità è accertata. Anche se non sostituisco dei valori casuali ma mi limito a fare un po di algebra ottengo l'identità: \(\displaystyle n^2=n^2 \)
E ho anche capito il mio errore, cosa della quale ti ringrazio anche di più:
il mio codice non calcola la sommatoria dei primi \(\displaystyle n \) numeri dispari, ma la sommatoria dei numeri dispari fino ad \(\displaystyle n \)
questo genera l'errore di fondo, infatti se prendiamo \(\displaystyle n=9 \) a me veniva chiaramente \(\displaystyle 1+3+5+7+9=25 \) mentre il risultato corretto è \(\displaystyle 1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81\) che è proprio \(\displaystyle n^2 \)
Non mi resta che ringraziarti nuovamente e riportare il calcolo esatto eseguito con il software nel caso torni utile a qualcuno:
\(\displaystyle F(\text{x$\_$})=\text{Sum}[i,\{i,1,2 x-1,2\}] \)
\(\displaystyle G(\text{x$\_$})=F(x)-x^2 \)
\(\displaystyle \text{Grid}\left[\text{Table}\left[\left\{x,F(x),x^2,G(x)\right\},\{x,1,10\}\right]\right] \)
\(\displaystyle \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 4 & 4 & 0 \\
3 & 9 & 9 & 0 \\
4 & 16 & 16 & 0 \\
5 & 25 & 25 & 0 \\
6 & 36 & 36 & 0 \\
7 & 49 & 49 & 0 \\
8 & 64 & 64 & 0 \\
9 & 81 & 81 & 0 \\
10 & 100 & 100 & 0 \\
\end{array} \)
Un saluto a tutti.
"mazzarri":
ma devi proprio usare un software?
Si, lo scopo di questi esercizi, anche semplici, è familiarizzare con il software per verificare ipotesi ed utilizzarlo quando serve durante il corso.
"mazzarri":
La somma dei primi $ n $ interi si sa è $ n/2(n+1) $
Perfetto, fin qui non ci piove.
"mazzarri":
se consideri che l'n-esimo numero dispari lo puoi chiamare $ (2n-1) $ (se vuoi per convincerti basta sostituire un $ n $ qualsiasi) hai che la somma dei primi $ n $ dispari è
$ S=n/2 (2n-1+1)=n^2 $
Ok, chiaramente la verità è accertata. Anche se non sostituisco dei valori casuali ma mi limito a fare un po di algebra ottengo l'identità: \(\displaystyle n^2=n^2 \)
E ho anche capito il mio errore, cosa della quale ti ringrazio anche di più:
il mio codice non calcola la sommatoria dei primi \(\displaystyle n \) numeri dispari, ma la sommatoria dei numeri dispari fino ad \(\displaystyle n \) questo genera l'errore di fondo, infatti se prendiamo \(\displaystyle n=9 \) a me veniva chiaramente \(\displaystyle 1+3+5+7+9=25 \) mentre il risultato corretto è \(\displaystyle 1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81\) che è proprio \(\displaystyle n^2 \)Non mi resta che ringraziarti nuovamente e riportare il calcolo esatto eseguito con il software nel caso torni utile a qualcuno:
\(\displaystyle F(\text{x$\_$})=\text{Sum}[i,\{i,1,2 x-1,2\}] \)
\(\displaystyle G(\text{x$\_$})=F(x)-x^2 \)
\(\displaystyle \text{Grid}\left[\text{Table}\left[\left\{x,F(x),x^2,G(x)\right\},\{x,1,10\}\right]\right] \)
\(\displaystyle \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 4 & 4 & 0 \\
3 & 9 & 9 & 0 \\
4 & 16 & 16 & 0 \\
5 & 25 & 25 & 0 \\
6 & 36 & 36 & 0 \\
7 & 49 & 49 & 0 \\
8 & 64 & 64 & 0 \\
9 & 81 & 81 & 0 \\
10 & 100 & 100 & 0 \\
\end{array} \)
Un saluto a tutti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo