Esercizio con limite notevole

[cri981]

$ lim_(xrarr 0^+)(root(7)(1+3x)-1)/(sin(4x) $

note che posso utilizzare due limiti notevoli
$ lim_(xrarr 0) sinx/x=1 $


$ lim_(xrarr 0) ((1+x)^c-1)/x=c $

ottengo moltiplicando a numeratore e a denominatore per 4x
$ lim_(xrarr 0) ((1+3x)^(1/7)-1)/sin(4x)(4x)/(4x) $

$ lim_(xrarr 0) ((1+3x)^(1/7)-1)/(4x)sin(4x)/(4x) $

adesso quale operazione devo effettuare affinché 3x e 4x diventino uno stesso numero (per utilizzare il limite notevole)?

Grazie!

[seb1]

Ma dai, la stessa operazione, no? \(\frac{1}{4}=\frac{3}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}\)

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Occhio che c'è un errore nel tuo svolgimento, perché a denominatore ti risulterebbe $ 16x^2 $
Invece si ha:

$ lim_{x \to 0^+}(root(7)(1+3x)-1)/(sin(4x)) = 3/4 \cdot lim_{x \to 0^+}(root(7)(1+3x)-1)/(3x) \cdot (4x)/(sin(4x)) = $
$ = 3/4 \cdot lim_{x \to 0^+}(root(7)(1+3x)-1)/(3x) \cdot 1/(\frac{sin(4x)}{4x}) = 3/4 \cdot 1/7 \cdot 1/1 = 3/28 $

[cri981]

ciao, piloeffe
tutto chiaro grazie per il tuo aiuto