Esercizio con la regola della catena
Buonasera,
qualcuno può aiutarmi a capire come fare questo esercizio?
Non so come approcciarmi al problema.
27) Un grande volume V di petrolio si riversa in mare da una petroliera in avaria. Dopo che la turbolenza iniziale è passata, la macchia si espande formando un disco omogeneo di raggio r e di spessore uniforme h, dove r cresce e h decresce. Se lo spessore h è inversamente proporzionale alla radice quadrata del tempo trascorso, cioè $ h = c/sqrt(t) $ , dimostrare che la velocità $ (dr)/dt $ con cui il petrolio si espande è inversamente proporzionale a $ t^(3/4) $ .
Credo che bisogna usare la regola della catena
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena
Marconi
qualcuno può aiutarmi a capire come fare questo esercizio?
Non so come approcciarmi al problema.
27) Un grande volume V di petrolio si riversa in mare da una petroliera in avaria. Dopo che la turbolenza iniziale è passata, la macchia si espande formando un disco omogeneo di raggio r e di spessore uniforme h, dove r cresce e h decresce. Se lo spessore h è inversamente proporzionale alla radice quadrata del tempo trascorso, cioè $ h = c/sqrt(t) $ , dimostrare che la velocità $ (dr)/dt $ con cui il petrolio si espande è inversamente proporzionale a $ t^(3/4) $ .
Credo che bisogna usare la regola della catena
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena
Marconi
Risposte
Ciao. Che problema particolare... ma è da un corso di analisi? 
Comunque non credo serva la regola della catena. La macchia è un cilindro, quindi ha volume \[\displaystyle \Omega=\pi r^2h=c\pi r^2 t^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow r=\sqrt{\frac{\Omega}{c\pi}}t^{\frac{1}{4}} \] dove ho invertito ed estratto la radice scegliendo ovviamente solo la soluzione positiva. Quindi banalmente \[\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\sqrt{\frac{\Omega}{2c\pi}}t^{-\frac{3}{4}} \Rightarrow \frac{\text{d}r}{\text{d}t}\sim \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}} \]
Comunque non credo serva la regola della catena. La macchia è un cilindro, quindi ha volume \[\displaystyle \Omega=\pi r^2h=c\pi r^2 t^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow r=\sqrt{\frac{\Omega}{c\pi}}t^{\frac{1}{4}} \] dove ho invertito ed estratto la radice scegliendo ovviamente solo la soluzione positiva. Quindi banalmente \[\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\sqrt{\frac{\Omega}{2c\pi}}t^{-\frac{3}{4}} \Rightarrow \frac{\text{d}r}{\text{d}t}\sim \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}} \]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo