Esercizio con la precompattezza

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti ! Mi potreste spiegare perfavore questo esercizio : sia X uno spazio di Banach e $ T \in L(X) $ un operatore compatto ,cioè tale che $ E \subset X $ limitato $ \Rightarrow $ chiusura di $ TE $ compatta. Siano $ {x_n} \subset X , {lambda_n} \subset \phi $ successioni tali che $ ||x_n||=1 , |\lambda_n|>= \delta>0 , n=1,2... Tx_n= \lambda_n x_n, n=1,2...$,dimostrare che esistono $ x,\lambda ( ||x||=1 , |\lambda|>=\delta ) $ tali che $ Tx=\lambda x $.
Come potrei impostare l'esercizio ? Io so che $X$ è di Banach e quindi ogni successione di Cauchy converge ad un elemento appartenente ad esso ! Potrei ad esempio considerare $ x_n $ di Cauchy e $ x $ il suo limite...però non saprei usare la precompattezza....grazie...

[Principe2]

1) beh, ma non c'e' motivo per cui $x_n$ sia di Cauchy (pensa ad una base ortonormale in un Hilbert separabile).

2) scusami ma $\phi$ cosa e'?

3) Basta prendere $x=x_n$ e $\lambda=\lambda_n$!! C'e' qualcosa di sbagliato nel testo!

[Sk_Anonymous]

Non so che dirti ! é il testo di un esercizio di uno dei compiti di Analisi Funzionale del mio corso...ho ricontrollato,ho ricopiato bene !

[Principe2]

sei d'accordo che basta prendere $x=x_n$ e $\lambda=\lambda_n$? (o mi sono rincoglionito?)

[dissonance]

Io sono d'accordo con Valerio. Secondo me il testo corretto prevede, invece che

\[Tx_n=\lambda_n x_n\]

qualcosa di approssimato, per esempio

\[\lVert Tx_n-\lambda_n x_n \rVert \le \frac{1}{n}.\]

[Sk_Anonymous]

Si sono daccordo con voi ! Ma purtroppo il testo è scritto in quel modo ! Grazie comunque....

[Principe2]

Si, e' probabile che Dissonance abbia ragione.. qualcosa del tipo: se hai autovalori approssimati, allora hai anche autovalori, sotto ipotesi di compattezza dell'operatore - il che mi sembra vero.

[dissonance]

"Valerio Capraro":Si, e' probabile che Dissonance abbia ragione.. qualcosa del tipo: se hai autovalori approssimati, allora hai anche autovalori, sotto ipotesi di compattezza dell'operatore

Esatto, pensavo proprio a questo. E difatti anche l'ipotesi su \(\lambda\) fila: infatti questo asserto è vero a patto che \(\lambda\) sia discosto da \(0\), perché in quel caso ci possono essere autovalori approssimati che non sono autovalori ma valori spettrali di altro tipo, per esempio spettro continuo. Per dirne una, è il caso dell'operatore

\[T\mathbf{x}=\left(x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots \frac{x_n}{n} \ldots\right),\qquad \mathbf{x}=(x_1, x_2 \ldots) \in \ell^2\]

che è compatto e ha \(0\) come autovalore approssimato (perché \(\lVert T\mathbf{e}_n\rVert\to 0\) per \(\mathbf{e}_n=(\underbrace{0 \ldots 0, 1}_{n\ \text{posti}}, 0 \ldots)\)), ma \(0\) è elemento dello spettro continuo.

[Principe2]

ah interessante questo esempio! non ci avevo pensato.