Esercizio con la definizione di limite di successione

[tetravalenza]

Ciao,

Se un esercizio chiede di verificare usando la definizione di limite che la successione

\[
\frac{1}{n+1}\rightarrow 0^+
\]

Significa che devo risolvere la diseguaglianza

\[
\frac{1}{n+1}<\epsilon
\]

anziché il sistema di diesquazioni fornito da $ |1/{n+1}|<\epsilon $ ?

[Leonardo971]

Dire che la successione $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tende a $l \in \mathbb{R}$ per definizione equivale a dire che:
\[\forall \epsilon>0 \quad \exists n_0(\epsilon) \in \mathbb{N} | \forall n>n_0 \quad |a_n-l|<\epsilon\]
Dunque nel nostro caso bisogna verificare che:
\[\forall \epsilon>0 \quad \exists n_0(\epsilon) \in \mathbb{N} | \forall n>n_0 \quad \left|\frac{1}{n+1}\right|<\epsilon\]
Ovviamente $|\frac{1}{n+1}|=\frac{1}{n+1}$ dato che stiamo parlando di qualcosa di strettamente positivo.

[tetravalenza]

Quindi $0^+$ è solo una precisazione. Sarebbe stato lo stesso chiedere di verificare
\[
\frac{1}{n+1}\rightarrow 0
\]
OK, grazie

[Leonardo971]

Si certo. Di nulla.

[dissonance]

"Leonardo97":Dire che la successione $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tende a $l \in \mathbb{R}$ per definizione equivale a dire che:
\[\forall \epsilon>0 \quad \exists n_0(\epsilon) \in \mathbb{N} | \forall n>n_0 \quad |a_n-l|<\epsilon\]

Si, e se si scrive \(l^+\) significa che, in aggiunta a quello che hai detto, si richiede che
\[
a_n\ge l, \]
per ogni \(n\).

[Leonardo971]

E infatti $a_n=\frac{1}{n+1} \ge 0=l$.

[pilloeffe]

Beh, nel caso specifico si ha:

$ a_n = 1/(n+1) > 0 = l \qquad AA n \in \NN $