Esercizio con integrale
Ciao ragazzi , sto svolgendo un integrale di Analisi I e arrivo a questo punto:
$ int 7/(3/(e^(4x))+4/(e^(2x))+1)dx $
A questo punto faccio a denominatore l'mcm e moltiplico a numeratore per $e^(4x)$, e l'integrale diventa:
$ int (7e^(4x))/(3+4e^(2x)+e^(4x))dx $
Quindi sostituzione:
$e^(2x)=t $, da cui $2e^(2x)dx=dt$, e l'integrale diventa:
$ 1/2 int (7t)/(t^2+4t+3)dt $
Ho capito che il differenziale si semplifica con $7e^4x$ , ma rimane fuori il 2, che dovrebbe essere comunque moltiplicato , credo c'entri qualcosa quel $1/2$ fuori dall'integrale , potreste spiegarmi cosa si fa? Grazie in anticipo
$ int 7/(3/(e^(4x))+4/(e^(2x))+1)dx $
A questo punto faccio a denominatore l'mcm e moltiplico a numeratore per $e^(4x)$, e l'integrale diventa:
$ int (7e^(4x))/(3+4e^(2x)+e^(4x))dx $
Quindi sostituzione:
$e^(2x)=t $, da cui $2e^(2x)dx=dt$, e l'integrale diventa:
$ 1/2 int (7t)/(t^2+4t+3)dt $
Ho capito che il differenziale si semplifica con $7e^4x$ , ma rimane fuori il 2, che dovrebbe essere comunque moltiplicato , credo c'entri qualcosa quel $1/2$ fuori dall'integrale , potreste spiegarmi cosa si fa? Grazie in anticipo
Risposte
La sostituzione in termini di differenziale si può scrivere anche:
$dx=1/2dt/t$
per cui poi basta sostituire e tener conto che $e^(4x)=t^2$
$dx=1/2dt/t$
per cui poi basta sostituire e tener conto che $e^(4x)=t^2$
Ciao Biagio2580,
$\int (7e^(4x))/(3+4e^(2x)+e^(4x))\text{d}x $
Posto $ e^(2x)=t \implies \text{d}t = 2 e^{2x} \text{d}x = 2t \text{d}x \implies \text{d}x = (\text{d}t)/(2t) $ si ha:
$\int (7e^(4x))/(3+4e^(2x)+e^(4x))\text{d}x = \int (7t^2)/(3+4t+t^2)(\text{d}t)/(2t) = 1/2 \int (7t)/(3+4t+t^2) \text{d}t = 7/2 \int t/((t + 1)(t + 3)) \text{d}t $
$\int (7e^(4x))/(3+4e^(2x)+e^(4x))\text{d}x $
Posto $ e^(2x)=t \implies \text{d}t = 2 e^{2x} \text{d}x = 2t \text{d}x \implies \text{d}x = (\text{d}t)/(2t) $ si ha:
$\int (7e^(4x))/(3+4e^(2x)+e^(4x))\text{d}x = \int (7t^2)/(3+4t+t^2)(\text{d}t)/(2t) = 1/2 \int (7t)/(3+4t+t^2) \text{d}t = 7/2 \int t/((t + 1)(t + 3)) \text{d}t $
"Biagio2580":
potreste spiegarmi cosa si fa?
Hai letto la teoria dal testo?
Hai letto i fogli che ti ho linkato?
Cosa dicono in merito? Che cos'hai capito?
"pilloeffe":
Posto $ e^(2x)=t \implies \text{d}t = 2 e^{2x} \text{d}x = 2t \text{d}x \implies \text{d}x = (\text{d}t)/(2t) $ si ha:
Ciao pilloeffe , ok fino a $2tdx$ , non capisco poi perchè $dx=dt/(2t)$ , potresti spiegarmi ? scusami
Si gugo82 , ho visto la parte inerente all'esercizio scorso , non capisco in questi casi però come si possa fare il differenziale , o almeno , arrivo fino a un certo punto , ma poi vengono fatti dei passaggi che non sono scritti e non capisco.
"Biagio2580":Basta dividere tutto per $2t$.
ok fino a $2tdx$ , non capisco poi perchè $dx=dt/(2t)$
Giusto Martino scusate , ma il fatto è :
perchè non potevo fermarmi semplicemente a :$2e^(2x)dx=dt$ e sostituire subito?
perchè non potevo fermarmi semplicemente a :$2e^(2x)dx=dt$ e sostituire subito?
Potevi
"Biagio2580":
perchè non potevo fermarmi semplicemente a :$2e^{2x}dx=dt $ e sostituire subito?
Certo che lo potevi fare, come ti ha scritto anche Martino, ma diciamo che quando si fa una sostituzione in un integrale l'idea è di riscriverlo tutto in termini della nuova variabile, cioè $t$ in questo caso: siccome si è posto $t := e^{2x} $ ogni volta che compare $e^{2x}$ da qualche parte lo si sostituisce subito con $t$
aaaaa capisco finalmente , mentre mettiamo il caso che fosse stato: $2sinxdx=dt$ , in questo caso è gia scritto tutto in funzione di t , quindi non c'è bisogno di fare altro giusto? Mentre nel nostro caso compare $è^(2x)$ che invece fa parte della nostra sostituzione , quindi una volta che diventa t poi devo risistemare l'uguaglianza giusto?
"Biagio2580":
poi devo risistemare l'uguaglianza giusto?
Beh sì, ma non è che sei obbligato intendiamoci, è che viene comodo fare così...
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