Esercizio con Integrale

[simonesolitro97]

Buonasera a tutti,
avrei bisogno di un aiuto con il seguente integrale in quanto è da un po' che non li faccio e ho perso la mano. L'integrale è il seguente:
$ int_(0)^(sqrt(3)/2) (9-12x^2)/(4x^2+3)^2 dx $
Ho provato con la decomposizione ma purtroppo la soluzione non torna.
Grazie a chi volesse aiutarmi

[pilloeffe]

Ciao SF260,

Quel quadrato lì a denominatore fa subito pensare alla convenienza di usare la regola della derivata di un quoziente:

$D[(f(x))/(g(x))] = (f'(x)g(x) - g'(x)f(x))/(g(x))^2 $

Si trova quasi subito $f(x) = 3x $, sicché si ha:

$\int (9-12x^2)/(4x^2+3)^2 \text{d}x = (3x)/(4x^2+3) + c $

[simonesolitro97]

Perfetto! Grazie mille

[pilloeffe]

"SF260":Grazie mille

Prego!
Mi sono reso conto però che ho un po' mentito qui, quando

"pilloeffe":Si trova quasi subito $f(x)=3x$

Le considerazioni da farsi sono le seguenti:
1) $g(x) = 4x^2 + 3 $
2) $ f'(x)g(x) - g'(x)f(x) = f'(x)\cdot (4x^2 + 3) - 8x \cdot f(x) $ deve essere uguale al polinomio di secondo grado $9 - 12x^2$, quindi
3) $f(x) $ è ragionevolmente un polinomio di primo grado, cioè del tipo $Ax + B$

Considerando i tre punti di cui sopra, si ha:

$A(4x^2 + 3) - 8x(Ax + B) = 9 - 12x^2 $

$4Ax^2 + 3A - 8Ax^2 - 8Bx = 9 - 12x^2 $

$- 4Ax^2 - 8Bx + 3A = 9 - 12x^2 $

da cui $A = 3$ e $B = 0 $, dunque in effetti $f(x) = 3x $ come già scritto nel mio post precedente.