Esercizio con integrale
Voglio sapere qual è il grafico dell'integrale vicino a $x=0$:
$ \int_0 (\frac{e^{-2t}}{t-1})
(integrale da 0 a x)
$ \int_0 (\frac{e^{-2t}}{t-1})
(integrale da 0 a x)
Risposte
$f(x)=int_0^x e^(-2t)/(t-1)dt$
Dopo aver controllato il dominio della funzione, basta controllare le derivate:
$f'(x)=e^(-2x)/(x-1)$ che è positiva per $x>1$: questo vuol dire che $f(x)$ sta decrescendo intorno a $x_0=0$.
$f''(x)=(e^(- 2x)(1 - 2x))/(x - 1)^2$ che nell'intorno di $x_0=0$ è positiva, quindi $f(x)$ è ivi convessa.
Ciò basta per permetterti di tracciare il grafico locale
Dopo aver controllato il dominio della funzione, basta controllare le derivate:
$f'(x)=e^(-2x)/(x-1)$ che è positiva per $x>1$: questo vuol dire che $f(x)$ sta decrescendo intorno a $x_0=0$.
$f''(x)=(e^(- 2x)(1 - 2x))/(x - 1)^2$ che nell'intorno di $x_0=0$ è positiva, quindi $f(x)$ è ivi convessa.
Ciò basta per permetterti di tracciare il grafico locale
Quindi devo ignorare l'integrale?
E se ho lo stesso tipo di esercizio con una disequazione differenziale al posto dell'integrale?
E se ho lo stesso tipo di esercizio con una disequazione differenziale al posto dell'integrale?
"Oo.tania":
Quindi devo ignorare l'integrale?
E se ho lo stesso tipo di esercizio con una disequazione differenziale al posto dell'integrale?
NO! Non devi ignorare l'integrale: infatti ho detto che prima bisogna controllare il dominio dell'integrale, per controllare "se ha senso" oppure no.
Inoltre le derivate dipendono dagli estremi di integrazione, oltre che dall'integranda.
Per un'equazione differenziale, data una condizione iniziale $y(x_0)=y_0$, per tracciare qualitativamente il grafico della soluzione si può controllare dove $y'(x)$ e $y''(x)$ sono positive (senza dover effettivamente ricavarsi l'integrale).
Quindi per far la derivata di un integrale definito (come fai a mettere l'estremo superiore nell'integrale? non riesco a metterlo, supponiamo sia x2)
$1int_{x1} (f(x))$ devo fare $(x1)' f(x1)-(x2)' f(x2)$?
invece per le disequazioni devo derivare solo la condizione? Non ho capito...
$1int_{x1} (f(x))$ devo fare $(x1)' f(x1)-(x2)' f(x2)$?
invece per le disequazioni devo derivare solo la condizione? Non ho capito...
"Oo.tania":
come fai a mettere l'estremo superiore nell'integrale?
Clicca su "cita" nel post dove ho inserito l'integrale e guarda come l'ho scritto
"Oo.tania":
Quindi per far la derivata di un integrale definito
$1int_{x1} (f(x))$ devo fare $(x1)' f(x1)-(x2)' f(x2)$?
Attento: la derivata di un integrale definito (= numero) è ovviamente nulla.
La derivata di una funzione integrale $f(x)=int_(alpha(x))^(beta(x)) g(t)dt$ è
$f'(x)=f(beta(x))cdot beta'(x) - f(alpha(x)) alpha'(x)$
"Oo.tania":
invece per le disequazioni devo derivare solo la condizione? Non ho capito...
Non capisco io... quali disequazioni e quali condizioni?
Perfetto grazie 1000
Lasciamo perdere le disequazioni !!
Lasciamo perdere le disequazioni !!
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