Esercizio con i limiti di Analisi 1
Salve, ho un problema con questo esercizio di Analisi, il testo dell’esercizio dato dalla Prof.ssa è questo:
- Premessa. Dato $a in RR$, diremo che una funzione $f: (a, +\infty) \to RR$ ha la proprietà
se soddisfa le seguenti condizioni:
1. f è continua e crescente in $(a, +\infty)$;
2. $lim_(x->+\infty) f(x) = +\infty$;
3. $lim_(x->+\infty) f(x^3) / f(x) = 1$;
Esercizio:
1) Dare un esempio di una funzione con la proprietà ;
2) Dimostrare che se una funzione f ha la proprietà allora $lim_(x->+\infty) f(x^2) / f(x) = 1$.
Questo è l’esercizio, fino al punto 2. sono riuscita a trovare una funzione che soddisfi la condizione scritta. Ma il mio problema è che non riesco a trovare una funzione che allo stesso tempo sia in grado di soddisfare anche la condizione del punto 3.
- Premessa. Dato $a in RR$, diremo che una funzione $f: (a, +\infty) \to RR$ ha la proprietà
se soddisfa le seguenti condizioni:1. f è continua e crescente in $(a, +\infty)$;
2. $lim_(x->+\infty) f(x) = +\infty$;
3. $lim_(x->+\infty) f(x^3) / f(x) = 1$;
Esercizio:
1) Dare un esempio di una funzione con la proprietà
;2) Dimostrare che se una funzione f ha la proprietà
allora $lim_(x->+\infty) f(x^2) / f(x) = 1$.Questo è l’esercizio, fino al punto 2. sono riuscita a trovare una funzione che soddisfi la condizione scritta. Ma il mio problema è che non riesco a trovare una funzione che allo stesso tempo sia in grado di soddisfare anche la condizione del punto 3.
Risposte
Ma non è identico a quello già approvato?
Elimina i doppioni altrimenti è un pasticcio.
Elimina i doppioni altrimenti è un pasticcio.
Non mi da l'opzione " x " per eliminarlo
La 2 è molto facile. Sfrutta che
1. f è [...] crescente in $ (a, +\infty) $;
Il problema è che non capisco quale funzione posso trovare il cui limite per x che tende a $+infty$ sia = +$infty$ e che allo stesso tempo il limite di f(x^3)/f(x) che tende a $+infty$ sia = 1.
Se avete altri consigli da dare, sono ben accetti e di grande aiuto
"Candy01":
Se avete altri consigli da dare, sono ben accetti e di grande aiuto
Cosa ci puoi dire di $f^{\prime}(x)$?
In che senso? A quanto ho capito dall'esercizio la funzione deve essere inventata e deve soddisfare le condizioni che ho scritto.
"Candy01":
In che senso? A quanto ho capito dall'esercizio la funzione deve essere inventata e deve soddisfare le condizioni che ho scritto.
In che senso "In che senso?"? Certo che la funzione deve essere inventata. Mentre stai inventando la tua funzione, come vuoi che sia $f^{\prime}(x)$ per $x$ grande?
Allora per quanto riguarda la continuità e il fatto che deve essere crescente, non è difficile trovare una funzione che lo sia e stessa cosa per il limite che deve essere uguale a $+\infty$. Ma dopo aver trovato la funzione, calcolando il limite di f(x^3)/f(x) non trovo mai che sia uguale a 1. Questo è l'unico problema, vorrei capire come faccio a trovare una funzione che soddisfi anche il punto 3.
"Candy01":
vorrei capire come faccio a trovare una funzione che soddisfi anche il punto 3.
Ripeto la mia domanda: Cosa ci puoi dire di $f^{\prime}(x)$?
In base alle lezioni che ho studiato, può essere qualsiasi funzione: seno, coseno, logaritmo, esponenziale ecc..
O sfruttare anche i limiti notevoli. Ho provato a calcolare il limite di diverse funzioni ma non riesco a trovare una funzione che soddisfi tutte le condizioni.
O sfruttare anche i limiti notevoli. Ho provato a calcolare il limite di diverse funzioni ma non riesco a trovare una funzione che soddisfi tutte le condizioni.
@ghira Ma \( f \) non è assunta differenziabile (?). Il suggerimento è di cercare \( f \) differenziabile tale che :c, giusto?
"marco2132k":
@ghira Ma \( f \) non è assunta differenziabile (?). Il suggerimento è di cercare \( f \) differenziabile tale che :c, giusto?
Beh, visto che per ora inventiamo noi la funzione, inventiamola tale che $f^{\prime}(x)$ esista, sì.
Se esiste f'(x), questo può influire sulle condizioni tale che i limiti diano come risultato $+\infty$ e 1?
"Candy01":
Se esiste f'(x), questo può influire sulle condizioni tale che i limiti diano come risultato $+\infty$ e 1?
Per la prima parte basta dare un esempio. Magari è più facile pensare ad esempi derivabili.
Quali funzioni hai provato e perché non funzionano?
Mi è stato suggerito di usare i logaritmi o Nepero ma non va
"Candy01":
Mi è stato suggerito di usare i logaritmi o Nepero ma non va
Perché no? Magari non li usi _abbastanza_.
Ho chiesto proprio perché non riesco a trovare una soluzione, altrimenti non avrei scritto qui
\[
\lim_{x\to \infty}\frac{\log(x^3)}{\log(x)} = 3
\]
Adesso prova a smorzare ancora di più il logaritmo.
\lim_{x\to \infty}\frac{\log(x^3)}{\log(x)} = 3
\]
Adesso prova a smorzare ancora di più il logaritmo.
Attenzione al dominio della funzione:
Quindi direi che l'argomento del logaritmo deve essere del tipo $(x - a) $
"Candy01":
[...] diremo che una funzione $ f: (a, +\infty) \to RR $ [...]
Quindi direi che l'argomento del logaritmo deve essere del tipo $(x - a) $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo