Esercizio con Gauss Green
$ int(y^2)dx-(x^2-2xy)dy $ lungo la curva:
$ {(x,y): x^2+y^2=1, x>=0, y>=0}$
prima di tutto applico il teorema di Gauss Green:
calcolo le derivate parziali:
$ int y^2dx-x^2+2xy dy $
$ A= y^2 $
$ B= 2xy-x^2 $
calcolo le derivate parziali:
$ (partial B)/(partial x)=2y-2x $
$ (partial A )/(partial x)=2y $
ottengo:
-2intint x dxdy
passo alle cordinate polari
$ { ( x=rcosvartheta ),( y=rsentheta ):} $
a questo punto sostituendo ottengo:
$ -2intintrcostheta dr dvartheta $
l'impostazione è corretta? come proseguo?
Grazie!
$ {(x,y): x^2+y^2=1, x>=0, y>=0}$
prima di tutto applico il teorema di Gauss Green:
calcolo le derivate parziali:
$ int y^2dx-x^2+2xy dy $
$ A= y^2 $
$ B= 2xy-x^2 $
calcolo le derivate parziali:
$ (partial B)/(partial x)=2y-2x $
$ (partial A )/(partial x)=2y $
ottengo:
-2intint x dxdy
passo alle cordinate polari
$ { ( x=rcosvartheta ),( y=rsentheta ):} $
a questo punto sostituendo ottengo:
$ -2intintrcostheta dr dvartheta $
l'impostazione è corretta? come proseguo?
Grazie!
Risposte
Ciao cri98,
Per il teorema di Gauss-Green nel piano si ha:
$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
ove nel caso in esame $\del^+D $ non è altro che il quarto di circonferenza $x^2+y^2=1 $ ristretta al primo quadrante dato che $x >= 0 $ e $y >= 0$, $A(x,y)=y^2 $, $B(x,y)=2xy - x^2 $ e $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0}$, per cui si ha:
$\oint_{del^+ D} y^2\text{d}x + (2xy - x^2)\text{d}y = \int\int_D (2y - 2x - 2y) \text{d}x \text{d}y = - 2 \int\int_D x \text{d}x \text{d}y = $
$ = -2 \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1 - y^2}} x \text{d}x \text{d}y = -2 \int_0^1 [x^2/2]_0^{\sqrt{1 - y^2}} \text{d}y = -\int_0^1 (1 - y^2) \text{d}y = - 2/3 $
Se invece proprio vuoi passare alle coordinate polari si ha:
$ - 2 \int\int_D x \text{d}x \text{d}y = - 2\int_0^{\pi/2} cos\theta \text{d}\theta \int_0^1 \rho^2 \text{d}\rho = - 2 \cdot 1 \cdot 1/3 = - 2/3 $
Per il teorema di Gauss-Green nel piano si ha:
$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
ove nel caso in esame $\del^+D $ non è altro che il quarto di circonferenza $x^2+y^2=1 $ ristretta al primo quadrante dato che $x >= 0 $ e $y >= 0$, $A(x,y)=y^2 $, $B(x,y)=2xy - x^2 $ e $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0}$, per cui si ha:
$\oint_{del^+ D} y^2\text{d}x + (2xy - x^2)\text{d}y = \int\int_D (2y - 2x - 2y) \text{d}x \text{d}y = - 2 \int\int_D x \text{d}x \text{d}y = $
$ = -2 \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1 - y^2}} x \text{d}x \text{d}y = -2 \int_0^1 [x^2/2]_0^{\sqrt{1 - y^2}} \text{d}y = -\int_0^1 (1 - y^2) \text{d}y = - 2/3 $
Se invece proprio vuoi passare alle coordinate polari si ha:
$ - 2 \int\int_D x \text{d}x \text{d}y = - 2\int_0^{\pi/2} cos\theta \text{d}\theta \int_0^1 \rho^2 \text{d}\rho = - 2 \cdot 1 \cdot 1/3 = - 2/3 $
grazie pilloeffe per la risposta
ho provato a risolvere nuovamente la stessa tipologia di esercizio però ho come dominio l'elisse.
$ int4xy^2dy-yx^2dx $ lungo la curva $x^2/4+y^2=1 $
1) $ 4pi $
2) $ 8 pi $
3) $ 2 pi $
4) $ pi $
applicando la formula:
$ \oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
ottengo:
$ intint( 4y^2+x^2) dxdy=$
adesso considero le coordinate ellittiche:
$ { ( x=apcostheta ),( y=bpsentheta ):} $
ed ottengo:$ { ( x=2pcostheta ),( y=1psentheta ):} $
ho bisogno di un aiutino non mi è ancora molto chiaro
grazie
ho provato a risolvere nuovamente la stessa tipologia di esercizio però ho come dominio l'elisse.
$ int4xy^2dy-yx^2dx $ lungo la curva $x^2/4+y^2=1 $
1) $ 4pi $
2) $ 8 pi $
3) $ 2 pi $
4) $ pi $
applicando la formula:
$ \oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
ottengo:
$ intint( 4y^2+x^2) dxdy=$
adesso considero le coordinate ellittiche:
$ { ( x=apcostheta ),( y=bpsentheta ):} $
ed ottengo:$ { ( x=2pcostheta ),( y=1psentheta ):} $
ho bisogno di un aiutino non mi è ancora molto chiaro
grazie
"cri98":
grazie pilloeffe per la risposta
Prego.
"cri98":
ho provato a risolvere nuovamente la stessa tipologia di esercizio però ho come dominio l'ellisse.
int x^2/4+y^2=1
Che roba è? Potresti chiarire?
Vuoi dire che in quest'altro caso $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/4+y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0} $?
"cri98":
ottengo:
$\int \int 4y^2+x^2 dxdy=$
Vuoi dire $\int \int_D (4y^2+x^2) \text{d}x\text{d}y $?
Chi sono $A(x, y) $ e $B(x, y) $ in quest'altro caso?
Insomma, un po' più di chiarezza è indispensabile per poter rispondere a tono...
ok pilloeffe, mi sono accorto che mancava una parte dell'esercizio, ho modificato il messaggio precedente.
Nel caso corretto, considerando $ D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/4 + y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0}$ e passando alle coordinate ellittiche
$ { (x = a \rho cos\theta ),(y = b \rho sin\theta):} $
con $a = 1 $ e $b = 1/2$ e quindi $|J| = ab \rho = 1/2 \rho $, si ha:
$ \int \int_D (4y^2+x^2) \text{d}x\text{d}y = 1/2 \int_0^{\pi/2} \text{d}\theta \int_0^2 \rho^3 \text{d}\rho = 1/2 \int_0^{\pi/2} \text{d}\theta [\rho^4/4]_0^2 = 1/2 \cdot \pi/2 \cdot 2^4/4 = \pi $
Pertanto la risposta corretta è la 4).
Se invece $ D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/4 + y^2 <= 1}$ allora si ha:
$ \int \int_D (4y^2+x^2) \text{d}x\text{d}y = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^2 \rho^3 \text{d}\rho = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta [\rho^4/4]_0^2 = 1/2 \cdot 2\pi \cdot 2^4/4 = 4 \pi $
In tal caso la risposta corretta è la 1).
$ { (x = a \rho cos\theta ),(y = b \rho sin\theta):} $
con $a = 1 $ e $b = 1/2$ e quindi $|J| = ab \rho = 1/2 \rho $, si ha:
$ \int \int_D (4y^2+x^2) \text{d}x\text{d}y = 1/2 \int_0^{\pi/2} \text{d}\theta \int_0^2 \rho^3 \text{d}\rho = 1/2 \int_0^{\pi/2} \text{d}\theta [\rho^4/4]_0^2 = 1/2 \cdot \pi/2 \cdot 2^4/4 = \pi $
Pertanto la risposta corretta è la 4).
Se invece $ D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/4 + y^2 <= 1}$ allora si ha:
$ \int \int_D (4y^2+x^2) \text{d}x\text{d}y = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^2 \rho^3 \text{d}\rho = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta [\rho^4/4]_0^2 = 1/2 \cdot 2\pi \cdot 2^4/4 = 4 \pi $
In tal caso la risposta corretta è la 1).
ciao pilloeffe
$ \int \int_D (4y^2+x^2) \text{d}x\text{d}y = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^2 \rho^3 \text{d}\rho = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta [\rho^4/4]_0^2 = 1/2 \cdot 2\pi \cdot 2^4/4 = 4 \pi $
non mi è chiara una cosa, come si ottiene$ rho^3$ ?
grazie
$ \int \int_D (4y^2+x^2) \text{d}x\text{d}y = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^2 \rho^3 \text{d}\rho = 1/2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta [\rho^4/4]_0^2 = 1/2 \cdot 2\pi \cdot 2^4/4 = 4 \pi $
non mi è chiara una cosa, come si ottiene$ rho^3$ ?
grazie
"cri98":
non mi è chiara una cosa, come si ottiene $\rho^3 $ ?
Tenendo conto dello jacobiano della trasformazione in coordinate ellittiche $ |J| = ab \rho = 1/2 \rho $ che moltiplicato per $\rho^2 $ porge proprio $\rho^3 $.
grazie
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