Esercizio con Gauss-Green
Si utilizzino le formule di Gauss-Green per determinare le coordinate del baricentro di ciascuno dei seguenti domini:
-triangolo di vertici $(-1,1), (1,0)$ e $(1,1)$ ;
-${(x,y)\inR^2: -2\leqx\leq1 , x^2+y\geq4}$ .
Ora dovrei dire qualcosa a riguardo ma non so da dove partire.
Potete spiegarmi come si fa almeno uno dei due? Vi chiedo aiuto!!! Grazie anticipatamente.
-triangolo di vertici $(-1,1), (1,0)$ e $(1,1)$ ;
-${(x,y)\inR^2: -2\leqx\leq1 , x^2+y\geq4}$ .
Ora dovrei dire qualcosa a riguardo ma non so da dove partire.
Potete spiegarmi come si fa almeno uno dei due? Vi chiedo aiuto!!! Grazie anticipatamente.
Risposte
up
Punto primo: conosci le tre espressioni equivalenti della formula di Gauss-Green? Punto secondo: sai come si calcolano le coordinate del baricentro di una figura piana usando un integrale doppio? Unendo le due cose, quello che dovrai fare è calcolare l'integrale doppio usando tali formule.
@axoone: Il regolamento prevede un'attesa di 24h prima di effettuare qualsiasi "up".
"Seneca":
@axoone: Il regolamento prevede un'attesa di 24h prima di effettuare qualsiasi "up".
Mi scuso per l'up.
Conosco le tre espressioni equivalenti :
$area(D)=\int\int_{D} dxdy=\int_{Fr(D)} xdy=-\int_{Fr(D)} ydx$.
Mentre le coordinate se stiamo ,ad esempio, sul piano $x,y$:
$xo=(\int\int_{D} x dxdy )/( area (D))$
$yo=(\int\int_{D} y dxdy )/ (area (D))$
Il mio problema e che trovo difficoltà ad applicare le prime equazioni/uguaglianze. Se mi fate capire un esercizio io non ci metto niente a fare gli altri. Ve lo chiedo per piacere anche perchè il 10 ho l'esame
.
Nel caso del triangolo l'area è banale. Per determinare il suo bordo (o frontiera) ti basta scrivere una parametrizzazione per i tre lati. A quel punto l'integrale lungo la frontiera si scompone nella somma di tre integrali curvilinei lungo tali lati e il gioco è fatto.
nel secondo caso, invece, se fai un disegno ti accorgerai che il dominio è un arco di parabola delimitato dal basso dall'asse delle $x$: in tal caso la parametrizzazione della frontiera va spezzata in due (l'arco e l'asse $x$) e si procede come prima.
Una osservazione: le formule che hai scritto vanno bene se calcoli le aree. Ma esse si possono riscrivere anche se stai calcolando un integrale del tipo $\int\int_D f(x,y)\ dx\ dy$. Sai quali sono?
nel secondo caso, invece, se fai un disegno ti accorgerai che il dominio è un arco di parabola delimitato dal basso dall'asse delle $x$: in tal caso la parametrizzazione della frontiera va spezzata in due (l'arco e l'asse $x$) e si procede come prima.
Una osservazione: le formule che hai scritto vanno bene se calcoli le aree. Ma esse si possono riscrivere anche se stai calcolando un integrale del tipo $\int\int_D f(x,y)\ dx\ dy$. Sai quali sono?
"ciampax":
Una osservazione: le formule che hai scritto vanno bene se calcoli le aree. Ma esse si possono riscrivere anche se stai calcolando un integrale del tipo $\int\int_D f(x,y)\ dx\ dy$. Sai quali sono?
Non le tengo presenti. Potresti dirmele?
Per quanto riguarda il triangolo ora provo a svolgerlo e ti posto il procedimento.
Teorema della divergenza: se $F(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y))$ è un campo vettoriale, allora
$\int\int_D (\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\ dx\ dy=\int_{\partial D} F\cdot n$
dove $n$ è la normale uscente alla curva.
$\int\int_D (\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\ dx\ dy=\int_{\partial D} F\cdot n$
dove $n$ è la normale uscente alla curva.
Questa non è la formula del flusso uscente da una superficie?
Anche.
Ho calcolato la somma dei 3 integrali utilizzando per ognuno la formula dell'integrale curvilineo ma questa cosa mi rappresenta? Non riesco ancora a trovare una similitudine e l'utilità della formula di Green.
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