Esercizio con derivate e Taylor

[Ermete22]

Ciao a tutti ragazzi e buona giornata Vi lascio qui sotto un esercizio che mi sta dando non poche difficoltà visto che non so come sviluppare le derivate di

$ sin(x^2)*cosx $

Ecco l'esercizio : la risposta esatta è quella segnata con la croce nera



Grazie in anticipo

[caffeinaplus]

Non ho capito taylor a che ti serve in questo caso.Qua non puoi fare altro che arrivare almeno alla 8 derivata e calcolare quanto fa in 0 ( o alla 9 derivata se non trovi
risultati esatti )
$f(x) = sin(x^2)cosx$
$f'(x) = 2xcos(x^2)cosx -sin(x^2)sinx$ ecc

[AnalisiZero]

"Ermete22":Ciao a tutti ragazzi e buona giornata Vi lascio qui sotto un esercizio che mi sta dando non poche difficoltà visto che non so come sviluppare le derivate di

$ sin(x^2)*cosx $

Ecco l'esercizio : la risposta esatta è quella segnata con la croce nera



Grazie in anticipo

Che io sappia con le derivate non si scappa, non puoi saltare ordini di derivate. Inizia ovviamente come derivata del prodotto di due funzioni ricordando quando sono composte.
Buona fortuna per i calcoli

[nick_10]

Ma no!!! Io non proverei nemmeno a fare tutti quei conti!!!!
Taylor semplifica proprio la vita in questo caso. Procedi con lo sviluppo di Taylor della funzione almeno fino all'ordine 9. Dai coefficienti dei vari monomi dello sviluppo puoi dedurre molto sul valore delle derivate nell'origine

[caffeinaplus]

Ah non sapevo andasse bene anche in questi casi, buono a sapersi

[nick_10]

Si...basta pensare alla formula di Taylor(con resto di Peano e centro in zero)!
Ho che $f(x)=f(0)+(f'(0))/(1!)x+(f''(0))/(2!)x^2+(f'''(0))/(3!)x^3+...+(f^(n)(0))/(n!)x^n+o(x^n)$
Vedi che i vari numeratori sono proprio il valore delle derivate (nell'origine) di ogni ordine fino ad $n$

[dissonance]

Un'altra cosa che aiuta è la simmetria. Quella funzione è pari, cioè \(f(-x)=f(x)\). Quindi, come dice il nome, solo i termini pari nello sviluppo di Taylor centrato in zero non si annullano. (Il punto è che i termini dispari cambiano segno quando si sostituisce \(-x\) a \(x\), e quindi siccome la funzione è pari essi devono sparire. Questa NON è una dimostrazione rigorosa ma un trucco mnemonico).

In questo modo, solo con un colpo d'occhio, già abbiamo stabilito che \(f^{(9)}(0)=0\). Certo, dopo toccherà calcolare \(f^{(8)}(0)\), e per quello, come giustamente stanno dicendo gli altri utenti, tocca sviluppare \(\sin(x^2)\) e \(\cos x\).