Esercizio complessi
Salve a tutti, ieri e oggi mi sono cimentato in questo esercizio:
"Risolvere nel campo complesso l'equazione : $z^(2)+|1-z|=1$ "
Io l'ho svolto in questo modo: $z^(2)=a^(2)-b^(2)+2abi$ e $|1-z|=sqrt(a^(2)+b^(2)-2a+1)$
Il mio problema adesso sta nell'eliminare la radice proveniente dal modulo perché portando a destra dell'equazione $a^(2)-b^(2)+2abi$ cambiando i segni e elevando al quadrato questi cinque termini (incluso l'1), mi esce fuori questo mostro che non so gestire:
$a^(4)+b^(4)-6a^(2)b^(2)-a^(2)+b^(2)+2a-4abi+4a^(3)bi-4ab^3i=0$
Sono consapevole che a questo punto devo porre la parte reale uguale a zero e stessa cosa per la parte immaginaria solo che il sistema nelle due equazioni non lo riesco a gestire, mi verrebbe da dire dalla seconda equazione (parte immaginaria) che una soluzione è con a=0 e b=0, ma per il resto non so se è giusto elevare al quadrato e non so come muovermi in caso dopo. Grazie
"Risolvere nel campo complesso l'equazione : $z^(2)+|1-z|=1$ "
Io l'ho svolto in questo modo: $z^(2)=a^(2)-b^(2)+2abi$ e $|1-z|=sqrt(a^(2)+b^(2)-2a+1)$
Il mio problema adesso sta nell'eliminare la radice proveniente dal modulo perché portando a destra dell'equazione $a^(2)-b^(2)+2abi$ cambiando i segni e elevando al quadrato questi cinque termini (incluso l'1), mi esce fuori questo mostro che non so gestire:
$a^(4)+b^(4)-6a^(2)b^(2)-a^(2)+b^(2)+2a-4abi+4a^(3)bi-4ab^3i=0$
Sono consapevole che a questo punto devo porre la parte reale uguale a zero e stessa cosa per la parte immaginaria solo che il sistema nelle due equazioni non lo riesco a gestire, mi verrebbe da dire dalla seconda equazione (parte immaginaria) che una soluzione è con a=0 e b=0, ma per il resto non so se è giusto elevare al quadrato e non so come muovermi in caso dopo. Grazie
Risposte
Guardando l'equazione iniziale noto che : $|1-z|$ è un numero reale, anzi positivo ; poichè sommandosi a $z^2 $ si ottiene ancora un numero reale , cioè $1 $ , bisogna che $z^2$ sia un numero reale ...
Grazie per la risposta, tramite il tuo consiglio i conti sono stati più facili del previsto, alla fine mi viene la coppia a=0 e b=0, ed infine a=1 b=0. Svolgendo i conti per b=0 mi è uscito fuori un'equazione di secondo grado in a dove, per risolverla applicando la classica forma -b^2+- ..., veniva fuori radice di -7. In questa situazione devo scrivere che non è accettabile in quanto "a" appartiene ad R giusto? anche perché in caso fosse accettabile mi uscirebbero fuori più di due soluzioni e il grado di z è 2. Grazie mille
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