Esercizio coefficienti Laurent - coefficienti indeterminati
Salve a tutti
sto avendo difficoltà con il seguente esercizio:
$ f(z)=z / (e^{z}-1)^(2) $
Richiede di calcolare i coefficienti c−1,c0 e c1 nello sviluppo in serie di Laurent di f(z) attorno a Zo = 0.
La soluzione dice che va utilizzato il metodo dei coefficienti indeterminati e lo sviluppo di ordine 3 di $e^{z} $. Dovrebbe venire: C−1 = 1, C0 = −1, C1 = 5/12.
Francamente nn so bene come procedere. Le uniche osservazioni che sono riuscito a fare è che per z=0 si ha un polo semplice, e il
$ lim_(z -> 0) z^{2} / (e^{z}-1)^(2) = 1 $che dovrebbe essere il residuo della funzione in 0. Ora dalla teoria il coefficiente -1esimo C-1 in 0 è proprio il residuo della funzione in 0, che è quindi uguale a 1. Nn so se il mio ragionamento è corretto percio aspetto il vostro giudizio.
Per gli altri coefficienti nn so come fare...il metodo dei coefficienti indeterminati nn mi è molto chiaro, ne ho capito come dovrei applicare lo sviluppo di $e^{z} $ all'interno di questa funzione. Spero nel vostro aiuto grazie in anticipo^^
sto avendo difficoltà con il seguente esercizio:
$ f(z)=z / (e^{z}-1)^(2) $
Richiede di calcolare i coefficienti c−1,c0 e c1 nello sviluppo in serie di Laurent di f(z) attorno a Zo = 0.
La soluzione dice che va utilizzato il metodo dei coefficienti indeterminati e lo sviluppo di ordine 3 di $e^{z} $. Dovrebbe venire: C−1 = 1, C0 = −1, C1 = 5/12.
Francamente nn so bene come procedere. Le uniche osservazioni che sono riuscito a fare è che per z=0 si ha un polo semplice, e il
$ lim_(z -> 0) z^{2} / (e^{z}-1)^(2) = 1 $che dovrebbe essere il residuo della funzione in 0. Ora dalla teoria il coefficiente -1esimo C-1 in 0 è proprio il residuo della funzione in 0, che è quindi uguale a 1. Nn so se il mio ragionamento è corretto percio aspetto il vostro giudizio.
Per gli altri coefficienti nn so come fare...il metodo dei coefficienti indeterminati nn mi è molto chiaro, ne ho capito come dovrei applicare lo sviluppo di $e^{z} $ all'interno di questa funzione. Spero nel vostro aiuto grazie in anticipo^^
Risposte
ragaz proprio nessuna idea per questo esercizietto? 
Un'idea è la seguente.
Visto che conosci la definizione di residuo e sai come determinare il residuo relativo ad un polo, cerchiamo di usare questi fatti.
Diciamo che la tua [tex]$f(z)$[/tex] intorno alla singolarità isolata $z_0$ si sviluppa in serie di Laurent come segue:
[tex]$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n$[/tex],
sicché [tex]$\text{Res}(f(z);z_0) =c_{-1}$[/tex] per definizione.
Dividendo [tex]$f$[/tex] per [tex]$z-z_0$[/tex] si ottiene una funzione [tex]$f_1$[/tex] con lo stesso tipo di singolarità di [tex]$f$[/tex] in $z_0$ (ossia con una singolarità essenziale se [tex]$f$[/tex] ha una singolarità essenziale, o con un polo se [tex]$f$[/tex] ha un polo; nel caso di polo, però, l'ordine aumenta di [tex]$1$[/tex]) la quale ha sviluppo di Laurent dato da:
[tex]$f_1(z) =\frac{1}{z-z_0}\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^{n-1} =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n+1}\ (z-z_0)^n$[/tex];
in particolare dall'ultimo membro della precedente segue che [tex]$\text{Res}(f_1(z);z_0) =\text{Res}(\tfrac{f(z)}{z-z_0};z_0) =c_0$[/tex].
Dividendo [tex]$f$[/tex] per [tex]$(z-z_0)^2$[/tex] si ottiene una funzione [tex]$f_2$[/tex] con lo stesso tipo di singolarità di [tex]$f$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] (ossia con una singolarità essenziale se [tex]$f$[/tex] ha una singolarità essenziale, o con un polo se [tex]$f$[/tex] ha un polo; nel caso di polo, però, l'ordine aumenta di [tex]$2$[/tex]) la quale ha sviluppo di Laurent:
[tex]$f_2(z)=\frac{1}{(z-z_0)^2}\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^{n-2} =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n+2}\ (z-z_0)^n$[/tex];
in particolare risulta [tex]$\text{Res}(f_2(z);z_0) =\text{Res}(\tfrac{f(z)}{(z-z_0)^2};z_0)= c_1$[/tex]...
In generale, dividendo [tex]$f$[/tex] per [tex]$(z-z_0)^N$[/tex] si ottiene una funzione [tex]$f_N$[/tex] con lo stesso tipo di singolarità di [tex]$f$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] (ossia con una singolarità essenziale se [tex]$f$[/tex] ha una singolarità essenziale, o con un polo se [tex]$f$[/tex] ha un polo; nel caso di polo, però, l'ordine aumenta di [tex]$N$[/tex] unità) la quale ha sviluppo di Laurent dato da:
[tex]$f_N (z)=\frac{1}{(z-z_0)^N}\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n+N}\ (z-z_0)^n$[/tex]
e dunque risulta [tex]$\text{Res}(f_N(z);z_0) =\text{Res}(\tfrac{f(z)}{(z-z_0)^N};z_0) =c_{N-1}$[/tex].
Nel tuo caso per determinare [tex]$c_0,c_1$[/tex] basta che ti calcoli due residui, ossia:
[tex]$c_0=\text{Res} \left( \frac{1}{(e^z-1)^2};0\right)$[/tex] e [tex]$c_1=\text{Res} \left( \frac{1}{z\ (e^z-1)^2};0\right)$[/tex],
con la formuletta relativa al calcolo del residuo in un polo, rispettivamente, d'ordine [tex]$2$[/tex] e [tex]$3$[/tex].
Sò che sono conti zozzoni, ma questo mi è venuto in mente...
Visto che conosci la definizione di residuo e sai come determinare il residuo relativo ad un polo, cerchiamo di usare questi fatti.
Diciamo che la tua [tex]$f(z)$[/tex] intorno alla singolarità isolata $z_0$ si sviluppa in serie di Laurent come segue:
[tex]$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n$[/tex],
sicché [tex]$\text{Res}(f(z);z_0) =c_{-1}$[/tex] per definizione.
Dividendo [tex]$f$[/tex] per [tex]$z-z_0$[/tex] si ottiene una funzione [tex]$f_1$[/tex] con lo stesso tipo di singolarità di [tex]$f$[/tex] in $z_0$ (ossia con una singolarità essenziale se [tex]$f$[/tex] ha una singolarità essenziale, o con un polo se [tex]$f$[/tex] ha un polo; nel caso di polo, però, l'ordine aumenta di [tex]$1$[/tex]) la quale ha sviluppo di Laurent dato da:
[tex]$f_1(z) =\frac{1}{z-z_0}\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^{n-1} =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n+1}\ (z-z_0)^n$[/tex];
in particolare dall'ultimo membro della precedente segue che [tex]$\text{Res}(f_1(z);z_0) =\text{Res}(\tfrac{f(z)}{z-z_0};z_0) =c_0$[/tex].
Dividendo [tex]$f$[/tex] per [tex]$(z-z_0)^2$[/tex] si ottiene una funzione [tex]$f_2$[/tex] con lo stesso tipo di singolarità di [tex]$f$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] (ossia con una singolarità essenziale se [tex]$f$[/tex] ha una singolarità essenziale, o con un polo se [tex]$f$[/tex] ha un polo; nel caso di polo, però, l'ordine aumenta di [tex]$2$[/tex]) la quale ha sviluppo di Laurent:
[tex]$f_2(z)=\frac{1}{(z-z_0)^2}\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^{n-2} =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n+2}\ (z-z_0)^n$[/tex];
in particolare risulta [tex]$\text{Res}(f_2(z);z_0) =\text{Res}(\tfrac{f(z)}{(z-z_0)^2};z_0)= c_1$[/tex]...
In generale, dividendo [tex]$f$[/tex] per [tex]$(z-z_0)^N$[/tex] si ottiene una funzione [tex]$f_N$[/tex] con lo stesso tipo di singolarità di [tex]$f$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] (ossia con una singolarità essenziale se [tex]$f$[/tex] ha una singolarità essenziale, o con un polo se [tex]$f$[/tex] ha un polo; nel caso di polo, però, l'ordine aumenta di [tex]$N$[/tex] unità) la quale ha sviluppo di Laurent dato da:
[tex]$f_N (z)=\frac{1}{(z-z_0)^N}\ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n+N}\ (z-z_0)^n$[/tex]
e dunque risulta [tex]$\text{Res}(f_N(z);z_0) =\text{Res}(\tfrac{f(z)}{(z-z_0)^N};z_0) =c_{N-1}$[/tex].
Nel tuo caso per determinare [tex]$c_0,c_1$[/tex] basta che ti calcoli due residui, ossia:
[tex]$c_0=\text{Res} \left( \frac{1}{(e^z-1)^2};0\right)$[/tex] e [tex]$c_1=\text{Res} \left( \frac{1}{z\ (e^z-1)^2};0\right)$[/tex],
con la formuletta relativa al calcolo del residuo in un polo, rispettivamente, d'ordine [tex]$2$[/tex] e [tex]$3$[/tex].
Sò che sono conti zozzoni, ma questo mi è venuto in mente...
grazie mille per la spiegazione! un sacco di informazioni utili ti ringrazio 
Purtroppo nn sono riuscito a sviluppare i calcoli di quei due residui, il limite delle varie derivate che vengono fuori nn riesco a risolverlo perche i gradi del numeratore e del denominatore vengono quasi sempre diversi e nn posso applicare il limite notevole $ lim_(x -> 0) x / (e^{x}-1) = 1 $
Purtroppo nn sono riuscito a sviluppare i calcoli di quei due residui, il limite delle varie derivate che vengono fuori nn riesco a risolverlo perche i gradi del numeratore e del denominatore vengono quasi sempre diversi e nn posso applicare il limite notevole $ lim_(x -> 0) x / (e^{x}-1) = 1 $
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