Esercizio carattere serie
Ciao a tutti potreste aiutarmi a calcolare il carattere di questa serie:
$\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ fino ad ora ho verificato che si tratta di una serie a termini positivi.
$\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ fino ad ora ho verificato che si tratta di una serie a termini positivi.
Risposte
Raga secondo voi con il criterio del confronto asintotico può funzionare?
"identikit_man":
Raga secondo voi con il criterio del confronto asintotico può funzionare?
Certamente
E per utilizzarlo devi capire che andamento ha il numeratore - per fare questo puoi:
1) moltiplicare sopra e sotto per la somma delle radici
OPPURE
2) mettere in evidenza $n^3$ dentro i radicali e portarlo fuori, ottenendo cosi' un $n^{3/2}$ al numerare che moltiplica la differenza due radicali che vanno entrambi a uno.
Questa differenza si puo' valutare mediante Taylor in termini di un'opportuna potenza di $1/n$
Scuca ma mettendo $n^3$in evidenza dentro i radicali ottengo:$\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^3(1+1/n^2))-root(3)(n^3(1/n+1/n^3)))/(n^2+2^n)$ e quindi sotto la seconda radice ho una forma indeterminata.
Non si potrebbe studiare la convergenza delle due serie:
$S=sum_(n=1)^(+oo) sqrt(n^3+n)/(n^2+2^n)-sum_(n=1)^(+oo) root(3)(n^2+1)/(n^2+2^n)$ ?
$S=sum_(n=1)^(+oo) sqrt(n^3+n)/(n^2+2^n)-sum_(n=1)^(+oo) root(3)(n^2+1)/(n^2+2^n)$ ?
Penso che si possa fare; tu dici utilizzando in entrambi il criterio del confronto asintotico?Cmq ora ci provo; e ti faccio sapere.
la C.N. per la convergenza la verifichi così: $\lim_{n \to +\infty} (sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ = $ \lim_{n \to +\infty} (sqrt(n^3+n))/(n^2+2^n) -\lim_{n \to +\infty} (root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n) = 0$
viene zero perchè $\lim_{n \to \pm \infty} n^a/(2^n) = 0$ per ogni $a>0$
Puoi dimostrare la convergenza con il criterio del rapporto
viene zero perchè $\lim_{n \to \pm \infty} n^a/(2^n) = 0$ per ogni $a>0$
Puoi dimostrare la convergenza con il criterio del rapporto
Studiandole sempre sseparatamente?Perchè ho provato a studiare la serie di partenza tramite il criterio del rapporto ma risulta molto complicato.
No, studi la serie così com'è, senza spezzarla. Alla fine devi calcolare un limite un po' più lungo, elimini gli infiniti di ordine inferiore e alla fine hai $\lim_{n \to \infty} (2^n)/2^(n+1) = 1/2$
Hai ragione alla fine è risultata un pò di calcoli ma alla fine risulta convergente.Secondo te c'è qualke altra strada per verificare la convergenza senza fare molti calcoli?
secondo me col confronto asintotico. Prendi una serie armonica generalizzata convergente...
A pensarci bene il criterio del confronto asintotico può non funzionare perchè la serie
$\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ se la confronti con la serie $\sum_{n=1}^(+\infty) 1/n^n$, che è convergente (si dimostra col criterio della radice), l'impostazione del confronto è:
$\lim_{n \to \infty}(a_n)/(b_n) = \lim_{n \to \infty} ((sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))n^n)/(n^2+2^n) = \lim_{n \to \infty} ((sqrt(1+1/n^2)-n^(-5/6)root(3)(1+1/n^2))n^(3/2)n^n)/((1+n^2/2^n)2^n)$ le quantità dentro parentesi si riducono a 1, per n che va infinito, così il limite si riduce a $\lim_{n \to \infty} (n^(3/2)n^n)/(2^n)$ che diverge senza ombra di dubbio.
Il metodo più veloce è forse il criterio della radice. si tratta di calcolare $\lim_{n \to \infty} root(n) (a_n)$. Sostituendo trovi
(sempre considerando n grande) $\lim_{n \to \infty} root(n) ((n^(3/2))/(2^n)) = \lim_{n \to \infty} (n^(3/(2n)))/(2) = 1/2 \lim_{n \to \infty} e^log(n^(3/(2n))) = 1/2 \lim_{n \to \infty} e^(3/2(logn)/n) = 1/2 e^0 = 1/2 < 1$ conv.
E' abbastanza chiaro così? Va tutto bene?
$\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ se la confronti con la serie $\sum_{n=1}^(+\infty) 1/n^n$, che è convergente (si dimostra col criterio della radice), l'impostazione del confronto è:
$\lim_{n \to \infty}(a_n)/(b_n) = \lim_{n \to \infty} ((sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))n^n)/(n^2+2^n) = \lim_{n \to \infty} ((sqrt(1+1/n^2)-n^(-5/6)root(3)(1+1/n^2))n^(3/2)n^n)/((1+n^2/2^n)2^n)$ le quantità dentro parentesi si riducono a 1, per n che va infinito, così il limite si riduce a $\lim_{n \to \infty} (n^(3/2)n^n)/(2^n)$ che diverge senza ombra di dubbio.
Il metodo più veloce è forse il criterio della radice. si tratta di calcolare $\lim_{n \to \infty} root(n) (a_n)$. Sostituendo trovi
(sempre considerando n grande) $\lim_{n \to \infty} root(n) ((n^(3/2))/(2^n)) = \lim_{n \to \infty} (n^(3/(2n)))/(2) = 1/2 \lim_{n \to \infty} e^log(n^(3/(2n))) = 1/2 \lim_{n \to \infty} e^(3/2(logn)/n) = 1/2 e^0 = 1/2 < 1$ conv.
E' abbastanza chiaro così? Va tutto bene?
aspetta un attimo quindi mi conviene applicare direttamente il metodo della radice?
"identikit_man":
Ciao a tutti potreste aiutarmi a calcolare il carattere di questa serie:
$\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^3+n)-root(3)(n^2+1))/(n^2+2^n)$ fino ad ora ho verificato che si tratta di una serie a termini positivi.
Per una risposta ultraveloce ti direi di considerare che solo al denominatore hai l'ordine di infinito di un esponenziale, al numeratore quello di qualche potenza.
Pertanto si può già brutalmente convenire che la serie converge...
Se vuoi fare qualche conto devi "razionalizzare" il denominatore moltiplicando non per la somma ma per il "falso quadrato" (identità: $a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)$ )...
zorn80:
Per una risposta ultraveloce ti direi di considerare che solo al denominatore hai l'ordine di infinito di un esponenziale, al numeratore quello di qualche potenza.
Pertanto si può già brutalmente convenire che la serie converge...
No, con questo discorso non dimostri niente. Se al denominatore hai un infinito di ordine superiore che al numeratore non significa che la serie converge.
Controesempio: la serie armonica. Al denominatore hai un infinito (di ordine 1) maggiore di quello al numeratore (di ordine 0), però la serie diverge
Secondo me il teo del rapporto è quello più sicuro anke se più lungo.
"Marco512":
[quote="zorn80"]
Per una risposta ultraveloce ti direi di considerare che solo al denominatore hai l'ordine di infinito di un esponenziale, al numeratore quello di qualche potenza.
Pertanto si può già brutalmente convenire che la serie converge...
No, con questo discorso non dimostri niente. Se al denominatore hai un infinito di ordine superiore che al numeratore non significa che la serie converge.
Controesempio: la serie armonica. Al denominatore hai un infinito (di ordine 1) maggiore di quello al numeratore (di ordine 0), però la serie diverge[/quote]
Appunto ma qui la differenza di ordini non è 1 ma è $omega$, ben sufficiente per la convergenza.
Discorso interessante. La serie è proprio quella che stavo studiando oggi assieme ad un collega.
Identikit_man per caso studi per l'esame di analisi 1 del prof. Di Fazio?
Identikit_man per caso studi per l'esame di analisi 1 del prof. Di Fazio?
Teoricamente si.
zorn80:
Appunto ma qui la differenza di ordini non è 1 ma è $omega$, ben sufficiente per la convergenza.
Differenza uguale a "$\omega$" cosa vuol dire?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo