Esercizio calcolo di un limite

[fede161]

Ciao ragazzi !

Non riesco a risolvere questo limite... qualcuno potrebbe darmi una mano? Ho provato 100 volte ma faccio un errore di cui non me ne accorgo..

$ lim_(x -> - oo ) (4-(sqrt(x^2-9)))/ (x-5) $

PS: il risultato deve venire "1"

Se faccio il limite per x che trende a +inf mi viene -1 ed è corretto... ma non capisco perchè debba venire 1 per il limite sopra

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao fede16,

Perché quando porti fuori $x^2 $ dalla radice ci vuole il modulo, e siccome $x \to - \infty $ allora $|x| $ diventa $- x $...

[fede161]

ok fin qui c'ero.. allora il mio è un errore concettuale..

se x tende a -inf, il modulo di tale valore non è comunque positivo ?
Voglio dire.. |-1000000000000| non è 1000000000000 ?

[pilloeffe]

"fede16":ok fin qui c'ero.. allora il mio è un errore concettuale..

Direi di sì...
Prova a pensare alla definizione di modulo o valore assoluto:

$|x| := {(x \text{ se } x \ge 0),(- x \text{ se } x < 0):} $

[fede161]

ah...
ma scusa perchè allora si dice che |-2| = 2 ?
c'è qualcosa che non mi torna ...

[pilloeffe]

"fede16":ma scusa perchè allora si dice che |-2| = 2 ?

Perché è vero, segui la definizione di modulo o valore assoluto per $x < 0 $, dato che senz'altro $- 2 < 0 $:

$|- 2| := - (-2) = 2 $

Tornando al limite proposto, per $ x \to \pm\infty $ si ha:

$ \lim_{x \to \pm\infty} (4-(sqrt(x^2-9)))/(x-5) = \lim_{x \to \pm\infty} (4-(|x|sqrt(1-9/x^2)))/(x-5) = \lim_{x \to \pm\infty} (4-(\pm x sqrt(1-9/x^2)))/(x-5) $[tex]= \mp\, 1[/tex]

ove si intende che davanti alla $x$ che moltiplica la radice quadrata valga il $+$ per $x \to +\infty $, il $-$ per $x \to -\infty $
mentre nel risultato finale vale il $-$ per $x \to +\infty $, il $+$ per $x \to -\infty $