Esercizio calcolo dell'area con un integrale di linea
Ciao a tutti,
qualcuno mi sa risolver questo esercizio per favore? Non riesco a capire bene lo svolgimento.
Io ho pensato di sfruttare la formula di Gauss-Green per poter passare da integrale doppio a integrale di linea
$ int int_(D)^()delta / (delta x) f2(x,y) - delta / (delta y) f1(x,y) dx dy = int_(gamma)^( ) ul(F) d ul(r) $
solo che in questo caso non ho un campo vettoriale esplicitato nel testo e poiché devo calcolare l'area considero
$ int int_( )^( ) dx dy $
però non ne sono sicuro perchè mi sorge il dubbio che si possa risolvere anche con l'integrale di prima specie.
Calcolare l’area della regione A del piano x, y delimitata dalla retta $y = x$
e dalla curva γ di equazione $ x = t^2 + t, y = t^4 + t $ , con t ∈ [0, 1].
qualcuno mi sa risolver questo esercizio per favore? Non riesco a capire bene lo svolgimento.
Io ho pensato di sfruttare la formula di Gauss-Green per poter passare da integrale doppio a integrale di linea
$ int int_(D)^()delta / (delta x) f2(x,y) - delta / (delta y) f1(x,y) dx dy = int_(gamma)^( ) ul(F) d ul(r) $
solo che in questo caso non ho un campo vettoriale esplicitato nel testo e poiché devo calcolare l'area considero
$ int int_( )^( ) dx dy $
però non ne sono sicuro perchè mi sorge il dubbio che si possa risolvere anche con l'integrale di prima specie.
Calcolare l’area della regione A del piano x, y delimitata dalla retta $y = x$
e dalla curva γ di equazione $ x = t^2 + t, y = t^4 + t $ , con t ∈ [0, 1].
Risposte
Se il campo vettoriale non viene dato, se ne trova uno opportuno. Consideriamo il campo vettoriale:
\[ \overrightarrow F := \left ( \begin{matrix} y \\ 2x \end{matrix} \right ) \]
Applicando Gauss-Green:
\[ \underset{ \mathcal{S}} { \iint} \left ( \frac{ \partial F_y}{\partial x} - \frac{ \partial F_x}{\partial y} \right ) \; \text{d} x \; \text{d} y = \underset{ \partial \mathcal{S} }{\oint} \left ( F_x \; \text{d}x + F_y \; \text{d} y \right ) \]
D'altra parte, dette:
\[ \overrightarrow \Gamma_1 (t) := \left ( \begin{matrix} t \\ t \end{matrix} \right ), \ \overrightarrow \Gamma_2 (t) := \left ( \begin{matrix} t^2 + t \\ t^4 + t \end{matrix} \right ) \qquad t \in [0,1] \]
Si ha che:
\[ \partial \mathcal{ S} = \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \]
dove \( \Gamma_1, \; \Gamma_2 \) sono i sostegni delle rispettive curve. Dunque:
\[ \begin{aligned} \underset{\mathcal{S}}{\iint} \text{d} x \; \text{d} y & = \underset{\Gamma_1}{\int} \left (y \; \text{d} x + 2x \; \text{d} y \right) + \underset{\Gamma_2}{\int} \left ( y \; \text{d} x + 2x \; \text{d} y \right ) \end{aligned} \]
Adesso continua tu
\[ \overrightarrow F := \left ( \begin{matrix} y \\ 2x \end{matrix} \right ) \]
Applicando Gauss-Green:
\[ \underset{ \mathcal{S}} { \iint} \left ( \frac{ \partial F_y}{\partial x} - \frac{ \partial F_x}{\partial y} \right ) \; \text{d} x \; \text{d} y = \underset{ \partial \mathcal{S} }{\oint} \left ( F_x \; \text{d}x + F_y \; \text{d} y \right ) \]
D'altra parte, dette:
\[ \overrightarrow \Gamma_1 (t) := \left ( \begin{matrix} t \\ t \end{matrix} \right ), \ \overrightarrow \Gamma_2 (t) := \left ( \begin{matrix} t^2 + t \\ t^4 + t \end{matrix} \right ) \qquad t \in [0,1] \]
Si ha che:
\[ \partial \mathcal{ S} = \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \]
dove \( \Gamma_1, \; \Gamma_2 \) sono i sostegni delle rispettive curve. Dunque:
\[ \begin{aligned} \underset{\mathcal{S}}{\iint} \text{d} x \; \text{d} y & = \underset{\Gamma_1}{\int} \left (y \; \text{d} x + 2x \; \text{d} y \right) + \underset{\Gamma_2}{\int} \left ( y \; \text{d} x + 2x \; \text{d} y \right ) \end{aligned} \]
Adesso continua tu
Ti ringrazio per la risposta. Volendo potevo usare anche il seguente campo ?
$ ul(F)(x,y)= -yul(i)+xul(j)= (-y,x) rArr (delx)/(delx) +(dely)/(dely) = 2 $
Quindi: $ int int_(D)^()2 dx dy = 1/2 oint_(gamma) (x-y) dxd y $
$ ul(F)(x,y)= -yul(i)+xul(j)= (-y,x) rArr (delx)/(delx) +(dely)/(dely) = 2 $
Quindi: $ int int_(D)^()2 dx dy = 1/2 oint_(gamma) (x-y) dxd y $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo