Esercizio: Calcolo del flusso attraverso una superficie
Salve a tutti! Per favore, potreste aiutarmi con questo esercizio riguardante il flusso?
Ho una funzione
\(\displaystyle f(x;y)=arcsin(x) * tan (y) \) con $ (x;y)in [-1;1]xx[0;pi/4] $
ed ho un vettore
$ v(x;y;z)=arcsin^2(x)*hat(i) +(1/arcsin(x))*hat(j) + (root(2)((z) / ((1-x^2)tg(y)))) * hat(k) $
E devo calcolare il flusso, seguendo la formula $ phi=int_(S)^() F*bar(n) ds $.
Il problema principale che non riesco a risolvere è proprio quello di portare \(\displaystyle f(x;y) \) in\(\displaystyle (u;v) \).
Ho provato in due modi.
Il primo, con una semplice sostituzione:
$ { ( x=u ),( y=v ),( z= arcsin(u) * tan(v) ):} $, con $ (u;v)in [-1;1]xx[0;pi/4] $
Ma, anche se fosse corretto, mi troverei una Wronskiano:
$ W= | ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ),( tan(v)/root()(1-u^2) , arcsin(u)*sec^2(v) ) | $
e non credo nemmeno effettivamente sia il metodo più conveniente.
Allora, il secondo, ho provato a giocare un po' con arcsin e tan, sfruttando il fatto che \(\displaystyle arcsinx= 1/sin(x) \).
Il problema, però, è che se proprio volessi far funzionare il tutto, il cambio di coordinate sarebbe non corretto, in quanto considererei:
$ { ( x=rhosintheta ),( y=rhocostheta ),( z= arcsin(rhosintheta) *tg(rhocostheta) ):} $
che non coincidono con le coordinate polari.
Gradirei moltissimo un vostro parere su questo esercizio. Grazie mille!
Ho una funzione
\(\displaystyle f(x;y)=arcsin(x) * tan (y) \) con $ (x;y)in [-1;1]xx[0;pi/4] $
ed ho un vettore
$ v(x;y;z)=arcsin^2(x)*hat(i) +(1/arcsin(x))*hat(j) + (root(2)((z) / ((1-x^2)tg(y)))) * hat(k) $
E devo calcolare il flusso, seguendo la formula $ phi=int_(S)^() F*bar(n) ds $.
Il problema principale che non riesco a risolvere è proprio quello di portare \(\displaystyle f(x;y) \) in\(\displaystyle (u;v) \).
Ho provato in due modi.
Il primo, con una semplice sostituzione:
$ { ( x=u ),( y=v ),( z= arcsin(u) * tan(v) ):} $, con $ (u;v)in [-1;1]xx[0;pi/4] $
Ma, anche se fosse corretto, mi troverei una Wronskiano:
$ W= | ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ),( tan(v)/root()(1-u^2) , arcsin(u)*sec^2(v) ) | $
e non credo nemmeno effettivamente sia il metodo più conveniente.
Allora, il secondo, ho provato a giocare un po' con arcsin e tan, sfruttando il fatto che \(\displaystyle arcsinx= 1/sin(x) \).
Il problema, però, è che se proprio volessi far funzionare il tutto, il cambio di coordinate sarebbe non corretto, in quanto considererei:
$ { ( x=rhosintheta ),( y=rhocostheta ),( z= arcsin(rhosintheta) *tg(rhocostheta) ):} $
che non coincidono con le coordinate polari.
Gradirei moltissimo un vostro parere su questo esercizio. Grazie mille!
Risposte
Premesso che non sembra essere specificata l'orientazione della superficie, si può procedere seguendo il primo modo:
$[vec(t_u)=veci+(tgv)/sqrt(1-u^2)veck] ^^ [vec(t_v)=vecj+(arcsinu)/cos^2v veck] rarr$
$rarr vec(S)=((veci,vecj,veck),(1,0,(tgv)/sqrt(1-u^2)),(0,1,(arcsinu)/cos^2v))=-(tgv)/sqrt(1-u^2)veci-(arcsinu)/cos^2v vecj+veck rarr$
$rarr vecv*vecS=-(tgvarcsin^2u)/sqrt(1-u^2)-1/cos^2v+sqrt(arcsinu/(1-u^2))$
In definitiva, si deve calcolare il seguente integrale doppio (più che fattibile):
$\Phi(vecv)=\int_{-1}^{1}du\int_{0}^{\pi/4}dv(-(tgvarcsin^2u)/sqrt(1-u^2)-1/cos^2v+sqrt(arcsinu/(1-u^2)))$
Veramente, la funzione inversa è definita in tutt'altro modo.
$[vec(t_u)=veci+(tgv)/sqrt(1-u^2)veck] ^^ [vec(t_v)=vecj+(arcsinu)/cos^2v veck] rarr$
$rarr vec(S)=((veci,vecj,veck),(1,0,(tgv)/sqrt(1-u^2)),(0,1,(arcsinu)/cos^2v))=-(tgv)/sqrt(1-u^2)veci-(arcsinu)/cos^2v vecj+veck rarr$
$rarr vecv*vecS=-(tgvarcsin^2u)/sqrt(1-u^2)-1/cos^2v+sqrt(arcsinu/(1-u^2))$
In definitiva, si deve calcolare il seguente integrale doppio (più che fattibile):
$\Phi(vecv)=\int_{-1}^{1}du\int_{0}^{\pi/4}dv(-(tgvarcsin^2u)/sqrt(1-u^2)-1/cos^2v+sqrt(arcsinu/(1-u^2)))$
"noctkuma":
... sfruttando il fatto che $[arcsinx=1/sinx]$ ...
Veramente, la funzione inversa è definita in tutt'altro modo.
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