Esercizio: area di un dominio con integrale doppio
Ciao a tutti ! Ho delle difficoltà a capire l'impostazione di questo esercizio
Calcolare l'area del dominio di equazione in coordinate polati del tipo
$ \( \rho = r( 1+ cos\vartheta) \) con \( cos\vartheta \in[0,2\pi], r>0 \)
So che il dominio corrisponde è quello delimitato dalla curva cardioide
http://www.google.it/search?gs_rn=25&gs ... B375%3B375
L'area A del dominio è data da
\( A = \iint_{D}^{}\, dx\, dy \) che il libro trasforma così
\( A = \iint_{D}^{}\, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \, d\vartheta \int_{0}^{r(1+cos\vartheta)} \rho\, d\rho \)
Ora .. io non capisco .. il dominio di integrazione quale è? Inoltre non è normale rispetto all'asse x ne all'asse y.
Quindi si deve usare la trasformazione in coordinate polari, che tra l'altro è stata usata vista
la presenza di \( \rho \) nell'integrale.
Potete spiegarmi quale è il dominio di integrazione? E come ottenere il nuovo dominio di integrazione?
Ad esempio negli esercizi che ho fatto.. per esempio il vecchio dominio era il cerchio di centro O e raggio 1
e quindi nel nuovo dominio individuato dai numeri \( \rho \) e \( \vartheta \) si aveva che
\( \rho \in [0,1], 0 \leq\vartheta \leq 2\pi \)
Non so se sono stata chiara ...
Calcolare l'area del dominio di equazione in coordinate polati del tipo
$ \( \rho = r( 1+ cos\vartheta) \) con \( cos\vartheta \in[0,2\pi], r>0 \)
So che il dominio corrisponde è quello delimitato dalla curva cardioide
http://www.google.it/search?gs_rn=25&gs ... B375%3B375
L'area A del dominio è data da
\( A = \iint_{D}^{}\, dx\, dy \) che il libro trasforma così
\( A = \iint_{D}^{}\, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \, d\vartheta \int_{0}^{r(1+cos\vartheta)} \rho\, d\rho \)
Ora .. io non capisco .. il dominio di integrazione quale è? Inoltre non è normale rispetto all'asse x ne all'asse y.
Quindi si deve usare la trasformazione in coordinate polari, che tra l'altro è stata usata vista
la presenza di \( \rho \) nell'integrale.
Potete spiegarmi quale è il dominio di integrazione? E come ottenere il nuovo dominio di integrazione?
Ad esempio negli esercizi che ho fatto.. per esempio il vecchio dominio era il cerchio di centro O e raggio 1
e quindi nel nuovo dominio individuato dai numeri \( \rho \) e \( \vartheta \) si aveva che
\( \rho \in [0,1], 0 \leq\vartheta \leq 2\pi \)
Non so se sono stata chiara ...
Risposte
Il fatto è che a differenza degli altri esercizi, qui il dominio di integrazione non mi viene dato attraverso le disequazioni.
Mmm, adesso che ci penso, è scritto "tra le righe"? nel senso.. già so che theta varia da o a due pigreco, mentre
rho che rappresenta la distanza dall'origine varia tra 0 e r(1+costheta) perchè "si segue" la curva nell'integrare?
Mmm, adesso che ci penso, è scritto "tra le righe"? nel senso.. già so che theta varia da o a due pigreco, mentre
rho che rappresenta la distanza dall'origine varia tra 0 e r(1+costheta) perchè "si segue" la curva nell'integrare?
Per la trasformazione, devi usare il fatto che
$x(\rho,\theta)=\rho\cos\theta,\quad y(\rho\theta)=\rho\sin\theta$
definiscono le coordinate polari. Il calcolo dello Jacobiano ti fornisce
$J=x_\rho y_\theta-x_\theta y_\rho=\rho\cos^2\theta+\rho\sin^2\theta=\rho$
Inoltre, nella cardioide, per come è definita, osservi facilmente che $\theta\in[0,2\pi]$ mentre $0\le\rho\le r(1+\cos\theta)$ in quanto, come è ovvio che sia, il valore del raggio vettore che spazza l'area va dal minimo zero fino al massimo che è il valore sul bordo e che dipende da $\theta$.
Spero sia chiaro.
$x(\rho,\theta)=\rho\cos\theta,\quad y(\rho\theta)=\rho\sin\theta$
definiscono le coordinate polari. Il calcolo dello Jacobiano ti fornisce
$J=x_\rho y_\theta-x_\theta y_\rho=\rho\cos^2\theta+\rho\sin^2\theta=\rho$
Inoltre, nella cardioide, per come è definita, osservi facilmente che $\theta\in[0,2\pi]$ mentre $0\le\rho\le r(1+\cos\theta)$ in quanto, come è ovvio che sia, il valore del raggio vettore che spazza l'area va dal minimo zero fino al massimo che è il valore sul bordo e che dipende da $\theta$.
Spero sia chiaro.
si ok ciampax, chiaro 
grazie 1000 
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