Esercizio analisi reale
Cari matematici, ecco a voi un nuovo esercizio bellissimo che ci ha lasciato la professoressa di analisi reale...
Calcolare il \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{0}^{+ \infty} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx \)
(Suggerimento: spezzare l'integrale nella somma di 2 integrali ed applicare opportunamente la disuguaglianza di Bernouilli: \(\displaystyle (1+ \frac{x}{n})^{n} \geqslant \frac{x^2}{4}, n \geqslant 2\) )
Allora, premesso che ci ho pensato un sacco oggi a questo esercizio, vi dico quello a cui sono arrivata con i relativi dubbi:
1) Vorrei usare il teorema di lebesgue sulla convergenza dominata (quello per cui se trovo una funzione \(\displaystyle g(x) \) che "domina" la successione di funzioni \(\displaystyle f_n(x) = (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} \), ovvero tale che \(\displaystyle g(x) \geqslant |f_n(x)| \), e che sia misurabile e sommabile, allora posso passare al limite sotto il segno di integrale) però per fare questo bisogna innanzitutto dimostrare che le funzioni \(\displaystyle f_n \) sono misurabili, e poi bisogna trovare questa funzione dominante...
2) Seguiamo il suggerimento: ma come devo spezzare l'integrale? Ho avanzato l'ipotesi di farlo così:
\(\displaystyle \int_{0}^{+ \infty} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx = \int_{0}^{1} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx + \int_{1}^{+ \infty} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx\)
ma non so che utilità può avere fare un passaggio simile!
Inoltre per quanto riguarda la disuguaglianza di Bernouilli che mi suggerisce di usare, ho pensato che serve proprio per arrivare a trovare la funzione \(\displaystyle g(x) \) di cui parlavo nel punto 1), ma non sono riuscita a concludere nulla...
Sono graditi consigli e suggerimenti! Grazie a tutti e buone feste
Calcolare il \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{0}^{+ \infty} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx \)
(Suggerimento: spezzare l'integrale nella somma di 2 integrali ed applicare opportunamente la disuguaglianza di Bernouilli: \(\displaystyle (1+ \frac{x}{n})^{n} \geqslant \frac{x^2}{4}, n \geqslant 2\) )
Allora, premesso che ci ho pensato un sacco oggi a questo esercizio, vi dico quello a cui sono arrivata con i relativi dubbi:
1) Vorrei usare il teorema di lebesgue sulla convergenza dominata (quello per cui se trovo una funzione \(\displaystyle g(x) \) che "domina" la successione di funzioni \(\displaystyle f_n(x) = (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} \), ovvero tale che \(\displaystyle g(x) \geqslant |f_n(x)| \), e che sia misurabile e sommabile, allora posso passare al limite sotto il segno di integrale) però per fare questo bisogna innanzitutto dimostrare che le funzioni \(\displaystyle f_n \) sono misurabili, e poi bisogna trovare questa funzione dominante...
2) Seguiamo il suggerimento: ma come devo spezzare l'integrale? Ho avanzato l'ipotesi di farlo così:
\(\displaystyle \int_{0}^{+ \infty} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx = \int_{0}^{1} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx + \int_{1}^{+ \infty} (1+ \frac{x}{n})^{-n} x^{ \frac{-1}{n}} dx\)
ma non so che utilità può avere fare un passaggio simile!
Inoltre per quanto riguarda la disuguaglianza di Bernouilli che mi suggerisce di usare, ho pensato che serve proprio per arrivare a trovare la funzione \(\displaystyle g(x) \) di cui parlavo nel punto 1), ma non sono riuscita a concludere nulla...
Sono graditi consigli e suggerimenti! Grazie a tutti e buone feste
Risposte
\[ \int_{1}^{+ \infty} \left (1+ \frac{x}{n} \right )^{-n} x^{ -\frac{1}{n}} \text{ d}x\]
Per Bernoulli, per $n \ge 2$ si ha
\[ \left (1+ \frac{x}{n} \right )^{-n} x^{ -\frac{1}{n}} \le \frac{1}{x^{\frac{1}{n}}} \cdot \frac{1}{1 + x + \frac{x^2}{2} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )} \le \frac{1}{1 + x + \frac{x^2}{4}} \le \frac{4}{x^2} = g(x) \; ,\]
e $g$ è integrabile secondo Lebesgue su $(1,+\infty)$. A meno di cantonate.
Comunque ti faccio notare che la misurabilità delle $f_n$ non è un problema: sono funzioni continue!
Per Bernoulli, per $n \ge 2$ si ha
\[ \left (1+ \frac{x}{n} \right )^{-n} x^{ -\frac{1}{n}} \le \frac{1}{x^{\frac{1}{n}}} \cdot \frac{1}{1 + x + \frac{x^2}{2} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )} \le \frac{1}{1 + x + \frac{x^2}{4}} \le \frac{4}{x^2} = g(x) \; ,\]
e $g$ è integrabile secondo Lebesgue su $(1,+\infty)$. A meno di cantonate.
Comunque ti faccio notare che la misurabilità delle $f_n$ non è un problema: sono funzioni continue!
Innanzitutto grazie per la risposta... Però non mi sono chiari i passaggi che hai fatto, potresti scriverli in maniera esplicita per piacere?
Credo di aver capito come svolgere \(\displaystyle \int_{1}^{+ \infty} \left (1+ \frac{x}{n} \right )^{-n} x^{ -\frac{1}{n}} \text{ d}x \) e mi viene \(\displaystyle \frac{1}{e} \)
Ma per quanto riguarda invece \(\displaystyle \int_{0}^{1} \left (1+ \frac{x}{n} \right )^{-n} x^{ -\frac{1}{n}} \text{ d}x \) come devo fare?
Ma per quanto riguarda invece \(\displaystyle \int_{0}^{1} \left (1+ \frac{x}{n} \right )^{-n} x^{ -\frac{1}{n}} \text{ d}x \) come devo fare?
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