Esercizio Analisi Matematica 1 sugli insiemi

[davide.fede1]

Salve, vi propongo un esercizio che ho svolto ma con il quale non sono riuscito alla fine a dare la risposta esatta. Ho l'insieme $A={[2n+(-1)^(n)(n)+1]/[3n-1] : n=1,2,3..} uu [1/3,1)$ , ho suddiviso $a_{n}$ in $n$ dispari e pari, rispettivamente $(3n+1)/(3n-1)$ e $(n+1)/(3n-1)$ e trovando il $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ per entrambi, ottenendo rispettivamente $1$ ed $1/3$ . Dopo aver visto quindi che $a_{n}$ è crescente per $n$ pari e decrescente per $n$ dispari ho calcolato $a_{n+2}>a_{n}$ per $n$ pari e $a_{n+2}5$ nel primo caso e $8>0$ nel secondo caso, inutile dire che quindi l'insieme non ha ne massimo ne minimo. Ho quindi dato la risposta "L'insieme non è ne chiuso ne aperto" poiché $1/3$ è incluso ma $1$ no. Secondo quanto riportato sulla prova però la risposta esatta è "L'insieme è chiuso" e non riesco a capire come. Mi potete aiutare ?

[anonymous_0b37e9]

"davide.fede":
$[2n+(-1)^(n)n+1]/[3n+1]$

Probabilmente intendevi scrivere $[(2n+(-1)^(n)n+1)/(3n-1)]$.

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":[quote="davide.fede"]
$[2n+(-1)^(n)n+1]/[3n+1]$

Probabilmente intendevi scrivere $[(2n+(-1)^(n)n+1)/(3n-1)]$.[/quote]
L'ho appena cambiato, chiedo scusa ma è che sto studiando da stamattina e non ci sto più con la testa

[anonymous_0b37e9]

"davide.fede":
Dopo aver visto quindi che $a_n$ è crescente per $n$ pari e decrescente per $n$ dispari ...

Non ne comprendo assolutamente il motivo. In questo caso sono entrambe decrescenti.

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$ è decrescente:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr$

$rarr [(3n+7)/(3n+5) lt (3n+1)/(3n-1)] rarr$

$rarr [-7 lt 5]$

$[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$]$ è decrescente:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr$

$rarr [(n+3)/(3n+5) lt (n+1)/(3n-1)] rarr$

$rarr [-3 lt 5]$

Inoltre:

$[a_2=7/5] ^^ [lim_(n->+oo)(3n+1)/(3n-1)=1]$

$[a_1=1] ^^ [lim_(n->+oo)(n+1)/(3n-1)=1/3]$

In definitiva, l'insieme $A$ consiste nell'intervallo chiuso $[1/3,1]$ unito a un insieme infinito numerabile di punti isolati.

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":[quote="davide.fede"]
Dopo aver visto quindi che $a_n$ è crescente per $n$ pari e decrescente per $n$ dispari ...

Non ne comprendo assolutamente il motivo. In questo caso sono entrambe decrescenti.

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$ è decrescente:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr$

$rarr [(3n+7)/(3n+5) lt (3n+1)/(3n-1)] rarr$

$rarr [-7 lt 5]$

$[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$]$ è decrescente:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr$

$rarr [(n+3)/(3n+5) lt (n+1)/(3n-1)] rarr$

$rarr [-3 lt 5]$

Inoltre:

$[a_2=7/5] ^^ [lim_(n->+oo)(3n+1)/(3n-1)=1]$

$[a_1=1] ^^ [lim_(n->+oo)(n+1)/(3n-1)=1/3]$

In definitiva, l'insieme $A$ consiste nell'intervallo chiuso $[1/3,1]$ unito a un insieme infinito numerabile di punti isolati.[/quote]
Scusami potresti dirmi come fai a determinare se siano crescenti o decrescenti ed a determinare gli estremi dell'insieme ?

[anonymous_0b37e9]

Per esempio:

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$

è decrescente se la seguente disuguaglianza:

$a_(n+2) lt a_n$

è vera per $AA n gt= 2$. Infatti:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr [(3n+7)/(3n+5) lt (3n+1)/(3n-1)] rarr [-7 lt 5]$

Poiché $[-7 lt 5]$ è vera per $AA n in NN$, la successione è decrescente. Veramente, bisognerebbe procedere con l'implicazione inversa:

$[-7 lt 5] rarr [(3n+7)/(3n+5) lt (3n+1)/(3n-1)] rarr [a_(n+2) lt a_n]$

Tuttavia, è senz'altro più immediato il primo procedimento. Per l'implicazione inversa basta procedere a ritroso. Per quanto riguarda la natura dell'insieme, per farsene un'idea è sufficiente osservare che:

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_2=7/5] ^^ [lim_(n->+oo)(3n+1)/(3n-1)=1]$

$[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_1=1] ^^ [lim_(n->+oo)(n+1)/(3n-1)=1/3]$

Quindi, l'insieme $A$ consiste nell'intervallo chiuso $[1/3,1]$ unito a un insieme infinito numerabile di punti isolati esterni all'intervallo il cui punto di accumulazione è $1$. In definitiva, l'insieme $A$ è chiuso perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":Per esempio:

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$

è decrescente se la seguente disuguaglianza:

$a_(n+2) lt a_n$

è vera per $AA n gt= 2$. Infatti:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr [(3n+7)/(3n+5) lt (3n+1)/(3n-1)] rarr [-7 lt 5]$

Poiché $[-7 lt 5]$ è vera per $AA n in NN$, la successione è decrescente. Veramente, bisognerebbe procedere con l'implicazione inversa:
Grazie mille della pazienza e della risposta. Perdona la mia insistenza ma ti chiedo tutto ciò solo perché non vorrei poi sbagliare all'esame. $a_{1}$ ed $a_{2}$ sarebbero massimo e minimo ? ed in caso come faccio a determinarli ? ed infine, come fai a
$[-7 lt 5] rarr [(3n+7)/(3n+5) lt (3n+1)/(3n-1)] rarr [a_(n+2) lt a_n]$

Tuttavia, è senz'altro più immediato il primo procedimento. Per l'implicazione inversa basta procedere a ritroso. Per quanto riguarda la natura dell'insieme, per farsene un'idea è sufficiente osservare che:

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_2=7/5] ^^ [lim_(n->+oo)(3n+1)/(3n-1)=1]$

$[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_1=1] ^^ [lim_(n->+oo)(n+1)/(3n-1)=1/3]$

Quindi, l'insieme $A$ consiste nell'intervallo chiuso $[1/3,1]$ unito a un insieme infinito numerabile di punti isolati esterni all'intervallo il cui punto di accumulazione è $1$. In definitiva, l'insieme $A$ è chiuso perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Grazie mille della pazienza e della risposta. Perdona la mia insistenza ma ti chiedo tutto ciò solo perché non vorrei poi sbagliare all'esame. $a_{1}$ ed $a_{2}$ sarebbero massimo e minimo ? ed in caso come faccio a determinarli ? ed infine, come fai a sapere che $1$ sia punto di accumulazione ? cioè come lo determini ?

[anonymous_0b37e9]

"davide.fede":
... $a_1$ ed $a_2$ sarebbero massimo e minimo ... come faccio a determinarli ...

Poiché:

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_2=7/5] ^^ [lim_(n->+oo)(3n+1)/(3n-1)=1]$

si deduce che:

$[a_2=7/5]$ è il massimo dell'insieme che comprende i termini della sottosuccessione $[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$

$[l=1]$ è l'estremo inferiore del medesimo insieme.

Poiché:

$[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_1=1] ^^ [lim_(n->+oo)(n+1)/(3n-1)=1/3]$

si deduce che:

$[a_1=1]$ è il massimo dell'insieme che comprende i termini della sottosuccessione $[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$]$

$[l=1/3]$ è l'estermo inferiore del medesimo insieme.

Tuttavia:

$A=[1/3,1[ uu {(3n+1)/(3n-1)}$ n pari $uu {(n+1)/(3n-1)}$ n dispari

Quindi, mentre la sottosuccessione $[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$ è esterna all'intervallo $[1/3,1[$, la sottosuccessione $[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$]$ è interna all'intervallo $[1/3,1]$, secondo estremo incluso perché $[a_1=1]$.

In definitiva:

$1/3$ è il minimo di $A$

$7/5$ è il massimo di $A$

"davide.fede":
... come fai a sapere che $1$ è punto di accumulazione ...

$1$ è punto di accumulazione di $A$ perchè ogni suo intorno contiene infiniti punti di $A$. In particolare:

ogni intorno sinistro di $1$ contiene infiniti elementi dell'intervallo $[1/3,1[$

ogni intorno destro di $1$ contiene infiniti elementi della sottosuccessione $[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":[quote="davide.fede"]
... $a_1$ ed $a_2$ sarebbero massimo e minimo ... come faccio a determinarli ...

Poiché:

$[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_2=7/5] ^^ [lim_(n->+oo)(3n+1)/(3n-1)=1]$

si deduce che:

$[a_2=7/5]$ è il massimo dell'insieme che comprende i termini della sottosuccessione $[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$

$[l=1]$ è l'estremo inferiore del medesimo insieme.

Poiché:

$[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$ : $[a_1=1] ^^ [lim_(n->+oo)(n+1)/(3n-1)=1/3]$

si deduce che:

$[a_1=1]$ è il massimo dell'insieme che comprende i termini della sottosuccessione $[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$]$

$[l=1/3]$ è l'estermo inferiore del medesimo insieme.

Tuttavia:

$A=[1/3,1[ uu {(3n+1)/(3n-1)}$ n pari $uu {(n+1)/(3n-1)}$ n dispari

Quindi, mentre la sottosuccessione $[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$ è esterna all'intervallo $[1/3,1[$, la sottosuccessione $[a_n=(n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ dispari$]$ è interna all'intervallo $[1/3,1]$, secondo estremo incluso perché $[a_1=1]$.

In definitiva:

$1/3$ è il minimo di $A$

$7/5$ è il massimo di $A$

"davide.fede":
... come fai a sapere che $1$ è punto di accumulazione ...

$1$ è punto di accumulazione di $A$ perchè ogni suo intorno contiene infiniti punti di $A$. In particolare:

ogni intorno sinistro di $1$ contiene infiniti elementi dell'intervallo $[1/3,1[$

ogni intorno destro di $1$ contiene infiniti elementi della sottosuccessione $[a_n=(3n+1)/(3n-1)] ^^ [n$ pari$]$[/quote]
Ora mi è tutto molto più chiaro, l'unico mio dubbio è come trovare massimo e minimo, perché con la dimostrazione di $a_{n}$ pari e dispari entrambi decrescenti si sa solo che ci siano massimo e minimo ma non quali siano

[anonymous_0b37e9]

"davide.fede":
... con la dimostrazione di $a_n$ pari e dispari entrambe decrescenti si sa solo che ...

Non ho capito se vuoi formalizzare una proprietà piuttosto ovvia perché intuitiva o se hai delle perplessità anche sulla determinazione intuitiva del massimo e del minimo dell'insieme $A$. Immagino si tratti della prima ipotesi.

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":[quote="davide.fede"]
... con la dimostrazione di $a_n$ pari e dispari entrambe decrescenti si sa solo che ...

Non ho capito se vuoi formalizzare una proprietà piuttosto ovvia perché intuitiva o se hai delle perplessità anche sulla determinazione intuitiva del massimo e del minimo dell'insieme $A$. Immagino si tratti della prima ipotesi.[/quote]
Esatto, prima ipotesi

[anonymous_0b37e9]

Sei un furbacchione. Sai benissimo che le cose più ovvie sono spesso anche le più rognose. Sei sicuro che ti sia richiesto?

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":Sei un furbacchione. Sai benissimo che le cose più ovvie sono spesso anche le più rognose. Sei sicuro che ti sia richiesto?

Beh per determinare che $A$ sia chiuso mi serve anche sapere che quali siano massimo e minimo visto che l'insieme $A$ è unito a $[1/3,1)$

[anonymous_0b37e9]

"davide.fede":
... visto che l'insieme $A$ è unito a $[1/3,1)$ ...

Pignoleria per pignoleria, l'insieme $A$ contiene l'intervallo $[1/3,1)$. A parte gli scherzi, secondo me non è necessario per completare la consegna. Tuttavia, se l'esercizio è stato assegnato per valutare la comprensione nei minimi dettagli dei contenuti in esame, potrei sbagliarmi. Se mi dai un'ulteriore conferma e un po' di tempo, provo a completare.

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":[quote="davide.fede"]
... visto che l'insieme $A$ è unito a $[1/3,1)$ ...

Pignoleria per pignoleria, l'insieme $A$ contiene l'intervallo $[1/3,1)$. A parte gli scherzi, secondo me non è necessario per completare la consegna. Tuttavia, se l'esercizio è stato assegnato per valutare la comprensione nei minimi dettagli dei contenuti in esame, potrei sbagliarmi. Se mi dai un'ulteriore conferma e un po' di tempo, provo a completare.[/quote]
Ma li hai già trovati prima, $a_{1}$ ed $a_{2}$