Esercizio Analisi Matematica 1 sugli insiemi

[davide.fede1]

Salve, vi propongo un esercizio di A.M. 1 sugli insiemi, che tuttavia non sono riuscito a risolvere. Avendo l'insieme $A={[2n+(-1)^n(n^2+1)^(1/2)]/n : n=1,2,3..}$ determinare se ha massimo o minimo. Ho diviso $a_{n}$ in $n$ pari ed $n$ dispari, ottenendo rispettivamente $a_{n} = [2n+sqrt(n^2+1)]/[n]$ ed $a_{n} = [2n-sqrt(n^2+1)]/[n]$ ed ho trovato il $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ in entrambi i casi, trovando i due estremi $1$ e $3$ . Dopo di che ho posto $a_{n}<1$ ed $a_{n}>3$ sia per $n$ pari che dispari non trovando né max ne min per nessun valore di $n$ , ma secondo quanto riportato sulla prova l'insieme ammette sia max che min. Qualcuno mi può aiutare ?

[anonymous_0b37e9]

Intanto, mentre $[a_n=(2n+sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ pari$]$ è decrescente:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr$

$rarr [(2n+4+sqrt(n^2+4n+5))/(n+2) lt (2n+sqrt(n^2+1))/n] rarr$

$rarr [2n^2+4n+nsqrt(n^2+4n+5) lt 2n^2+nsqrt(n^2+1)+4n+2sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [nsqrt(n^2+4n+5) lt (n+2)sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [n^4+4n^3+5n^2 lt n^4+4n^3+4n^2+n^2+4n+4] rarr$

$rarr [4n+4 gt 0] rarr$

$rarr [n gt -1]$

$[a_n=(2n-sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ dispari$]$ è crescente:

$[a_(n+2) gt a_n] rarr$

$rarr [(2n+4-sqrt(n^2+4n+5))/(n+2) gt (2n-sqrt(n^2+1))/n] rarr$

$rarr [2n^2+4n-nsqrt(n^2+4n+5) gt 2n^2-nsqrt(n^2+1)+4n-2sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [nsqrt(n^2+4n+5) lt (n+2)sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [n^4+4n^3+5n^2 lt n^4+4n^3+4n^2+n^2+4n+4] rarr$

$rarr [4n+4 gt 0] rarr$

$rarr [n gt -1]$

Inoltre, poiché:

$[lim_(n->+oo)(2n+sqrt(n^2+1))/n=3] ^^ [lim_(n->+oo)(2n-sqrt(n^2+1))/n=1]$

il risultato riportato sulla prova è senz'altro corretto. Anche se non era espressamente richiesto, lascio a te determinare il massimo e il minimo.

"davide.fede":
Dopo di che ho posto $a_n lt 1$ e $a_n gt 3$ ...

Ovviamente, in base ai risultati precedenti:

$[AA n in NN$ pari$: (2n+sqrt(n^2+1))/n gt 3] ^^ [AA n in NN$ dispari$: (2n-sqrt(n^2+1))/n lt 1]$

Quindi, come da consegna, le due implicazioni più semplici di cui sopra sono senz'altro sufficienti per affermare l'esistenza del massimo e del minimo. Tuttavia, non sono sufficienti per determinare il massimo e il minimo.

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":Intanto, mentre $[a_n=(2n+sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ pari$]$ è decrescente:

$[a_(n+2) lt a_n] rarr$

$rarr [(2n+4+sqrt(n^2+4n+5))/(n+2) lt (2n+sqrt(n^2+1))/n] rarr$

$rarr [2n^2+4n+nsqrt(n^2+4n+5) lt 2n^2+nsqrt(n^2+1)+4n+2sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [nsqrt(n^2+4n+5) lt (n+2)sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [n^4+4n^3+5n^2 lt n^4+4n^3+4n^2+n^2+4n+4] rarr$

$rarr [4n+4 gt 0] rarr$

$rarr [n gt -1]$

$[a_n=(2n-sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ dispari$]$ è crescente:

$[a_(n+2) gt a_n] rarr$

$rarr [(2n+4-sqrt(n^2+4n+5))/(n+2) gt (2n-sqrt(n^2+1))/n] rarr$

$rarr [2n^2+4n-nsqrt(n^2+4n+5) gt 2n^2-nsqrt(n^2+1)+4n-2sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [nsqrt(n^2+4n+5) lt (n+2)sqrt(n^2+1)] rarr$

$rarr [n^4+4n^3+5n^2 lt n^4+4n^3+4n^2+n^2+4n+4] rarr$

$rarr [4n+4 gt 0] rarr$

$rarr [n gt -1]$

Inoltre, poiché:

$[lim_(n->+oo)(2n+sqrt(n^2+1))/n=3] ^^ [lim_(n->+oo)(2n-sqrt(n^2+1))/n=1]$

il risultato riportato sulla prova è senz'altro corretto. Anche se non era espressamente richiesto, lascio a te determinare il massimo e il minimo.

[quote="davide.fede"]
Dopo di che ho posto $a_n lt 1$ e $a_n gt 3$ ...

Ovviamente, in base ai risultati precedenti:

$[AA n in NN$ pari$: (2n+sqrt(n^2+1))/n gt 3] ^^ [AA n in NN$ dispari$: (2n-sqrt(n^2+1))/n lt 1]$

Quindi, come da consegna, le due implicazioni più semplici di cui sopra sono senz'altro sufficienti per affermare l'esistenza del massimo e del minimo. Tuttavia, non sono sufficienti per determinare il massimo e il minimo.[/quote]
Quindi poiché secondo le uguaglianze abbiamo $n> -1$ in entrambi i casi. Avremo un massimo per un $n$ pari ed un minimo per un $n$ dispari, poiché le $a_{n}$ sono la prima decrescente e la seconda crescente. Giusto ?

[anonymous_0b37e9]

"davide.fede":
... avremo un massimo per un $n$ pari ed un minimo per un $n$ dispari ...

Certamente. In particolare, mentre il massimo è assunto dalla successione:

$[a_n=(2n+sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ pari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$

quando $[n=2]$:

$[max=(4+sqrt5)/2]$

il minimo è assunto dalla successione:

$[a_n=(2n-sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ dispari$] ^^ [a_n$ crescente$]$

quando $[n=1]$:

$[min=2-sqrt2]$

Ad ogni modo, come scritto in precedenza, poiché la consegna, a rigore, ne richiedeva la sola esistenza, il procedimento più immediato che hai adottato è senz'altro sufficiente (anche se non ho capito quali difficoltà tu abbia incontrato). Insomma, non è necessario dimostrare la monotonia delle due successioni.

[davide.fede1]

"anonymous_0b37e9":[quote="davide.fede"]
... avremo un massimo per un $n$ pari ed un minimo per un $n$ dispari ...

Certamente. In particolare, mentre il massimo è assunto dalla successione:

$[a_n=(2n+sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ pari$] ^^ [a_n$ decrescente$]$

quando $[n=2]$:

$[max=(4+sqrt5)/2]$

il minimo è assunto dalla successione:

$[a_n=(2n-sqrt(n^2+1))/n] ^^ [n$ dispari$] ^^ [a_n$ crescente$]$

quando $[n=1]$:

$[min=2-sqrt2]$

Ad ogni modo, come scritto in precedenza, poiché la consegna, a rigore, ne richiedeva la sola esistenza, il procedimento più immediato che hai adottato è senz'altro sufficiente (anche se non ho capito quali difficoltà tu abbia incontrato). Insomma, non è necessario dimostrare la monotonia delle due successioni.[/quote]
Avevo eseguito il procedimento sbagliato. Comunque tra poco pubblicherò un esercizio simile che non mi è uscito ma con un quesito diverso. Magari se riuscissi potresti passare a darmi una mano, se ti va

[anonymous_0b37e9]

Promesso.