Esercizio Analisi Matematica 1 insiemistica

[davide.fede1]

Salve, riporto un esercizio che mi da alcuni problemi. Avendo $A={[n+(-1)^(n+1)]/[(-1)^(n)n+2] ; n in NN}$ devo determinare se esso ha massimo e minimo. Si ha che $a_{n}$ è uguale ad $(n-1)/(n+2)$ per $n$ pari e ad $(n+1)/(2-n)$ per $n$ dispari, inoltre $a_{1}=2$ mentre $a_{2}=1/4$ . Il $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ per entrambi vale rispettivamente $1$ per $n$ pari e $-1$ per $n$ dispari. Si vede che le due successioni sono: crescente per $n$ pari e difatti applicando $a_{n+2} >a_{n}$ si ha $2 > -4$ , e decrescente per $n$ dispari, ma applicando $a_{n+2}

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Risposte

killing_buddha

27 gen 2018, 11:10

Ma cosa sono $n_1,n_2$?

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davide.fede1

27 gen 2018, 11:35

"killing_buddha":Ma cosa sono $n_1,n_2$?

i valori che la successione assume per $n=1$ ed $n=2$

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killing_buddha

27 gen 2018, 11:36

Quindi sono $a_1,a_2$.

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davide.fede1

27 gen 2018, 11:47

Esatto, li ho cambiati ora. Ma il punto è che non capisco cosa sbaglio, dovrebbe uscirmi $a_{n+2}

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gio73

27 gen 2018, 18:58

Ciao
il tuo esercizio mi piace, ma forse lo risolverei in maniera non convenzionale...
una volta che sostituisci alcuni valori
$n=1$ per ottenere $a_1=2$
$n=2 -> a_2= 1/4$
$n=3 -> a_3= -4$
...
e così via

ti accorgi che per trovare il l'elemento più grande e quello più piccolo ti devi concentrare sui primi termini, perché come giustamente hai osservato tu, all'aumentare di $n$ i valori degli elementi si avvicinano alternativamente a $1$ e $-1$

sicchè possiamo concludere che esistono il massimo $a_1=2$ e il minimo $a_3= -4$

Può andar bene questo modo di ragionare?

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davide.fede1

27 gen 2018, 19:13

Penso vada bene, ma infatti anche solo sostituendo qualche valore salta all'occhio subito che le due successioni sono una crescente e l'altra decrescente e che quindi $A$ possiede sia massimo che minimo. Il mio era solo uno scrupolo per dimostrare la presenza di questi ultimi tramite la successione $a_{n+2}$ ma penso così possa andare. Grazie comunque

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[killing_buddha]

Ma cosa sono $n_1,n_2$?

[davide.fede1]

"killing_buddha":Ma cosa sono $n_1,n_2$?

i valori che la successione assume per $n=1$ ed $n=2$

[killing_buddha]

Quindi sono $a_1,a_2$.

[davide.fede1]

Esatto, li ho cambiati ora. Ma il punto è che non capisco cosa sbaglio, dovrebbe uscirmi $a_{n+2}

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[gio73]

Ciao
il tuo esercizio mi piace, ma forse lo risolverei in maniera non convenzionale...
una volta che sostituisci alcuni valori
$n=1$ per ottenere $a_1=2$
$n=2 -> a_2= 1/4$
$n=3 -> a_3= -4$
...
e così via

ti accorgi che per trovare il l'elemento più grande e quello più piccolo ti devi concentrare sui primi termini, perché come giustamente hai osservato tu, all'aumentare di $n$ i valori degli elementi si avvicinano alternativamente a $1$ e $-1$

sicchè possiamo concludere che esistono il massimo $a_1=2$ e il minimo $a_3= -4$

Può andar bene questo modo di ragionare?

[davide.fede1]

Penso vada bene, ma infatti anche solo sostituendo qualche valore salta all'occhio subito che le due successioni sono una crescente e l'altra decrescente e che quindi $A$ possiede sia massimo che minimo. Il mio era solo uno scrupolo per dimostrare la presenza di questi ultimi tramite la successione $a_{n+2}$ ma penso così possa andare. Grazie comunque