Esercizio Analisi Matematica 1 insiemistica

[davide.fede1]

Salve, riporto un esercizio che mi ha dato un po di problemi: $A = {(-1)^ncos([pin]/[2n+1]) ; n=1,2,3...}$ . Ho diviso $a_{n}$ per $n$ pari e dispari, rispettivamente $cos([pin]/[2n+1])$ e $-cos([pin]/[2n+1])$ e poi trovato il $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ per entrambe, ma il risultato comune è $0$ che mi fa capire che $A$ si trovi in un intorno di $0$ . Dopo di ché provo a sostituire qualche valore di $n$ , essendo $a_{n}$ oscillante non saprei come fare altrimenti, ma ottengo valori difficili da immaginare e tutti diversi, come $cos([2pi]/[5])$ ecc. Ne traggo la soluzione, ovvero $A$ non ha massimo né minimo, ma secondo la risposta giusta esso ammette entrambi. Mi potete aiutare ?

[matteoorlandini]

La funzione coseno è limitata tra -1 e 1 quindi anche massimo/i e minimo/i sono compresi tra -1 e 1. Prova a dimostrare che la successione per $n$ pari sia decrescente, mentre per $n$ dispari sia crescente. Se fosse così (e da quello che ho visto è così) il massimo lo hai per gli $n$ pari in $n=2$ e il minimo lo hai per gli $n$ dispari in $n=1$. Il ragionamento che ho seguito è che siccome la successione per $n$ pari è non negativa e tende a zero al più il massimo è zero. Se questa fosse decrescente il massimo lo puoi trovare solo per $n=2$ perché per $n>2$ la successione assume valori via via minori. Il ragionamento è analogo per la successione per $n$ dispari, stavolta però il valore assunto per ogni $n$ è non positivo. Spero mi sia espresso in modo chiaro ma ne dubito

[davide.fede1]

Si infatti ho continuato a guardare la successione ed ho dimostrato che sia decrescente per $n$ pari e crescente per $n$ dispari, ci avevo pensato dopo. Grazie mille comunque

[matteoorlandini]

Di nulla