Esercizio Analisi Matematica 1

[alfox1]

salve ragazzi ho la necessità di riuscire a risolvere il seguente esercizio:

Utilizzando la definizione di limite provare che risulta

$lim_(x->1)(3x+1)/(x+5)=1$

adesso ho capito che devo porre tuttoin valore assoluto minore di $\epsilon$

e quindi

$|(3x+1)/(x+5)-1|<\epsilon$

ma poi mi blocco che devo fare?
Help!!!!

[Injo]

$lim_(x\to1) (3x+1)/(x+5) = lim_(x\to1) (x(3+1/x))/(x(1+5/x)) = lim_(x\to1) (3+1/x)/(1+5/x) = 4/6 = 2/3$ quindi c'è già qualcosa che non va...

[apatriarca]

Quel limite non vale $1$ ma $2/3$. La funzione è continua e quindi è sufficiente calcolare il valore della funzione in $x$ per risolverlo.

[alfox1]

scusami hai ragione ho sbagliato a scrivere

$lim_(x->1)(3x+3)/(x+5)=1$

[alfox1]

e so anche che per provarlo basta sostituire 1 alla x

ma il prof vuole una dimostrazione tipo quella sopra cioè

mettendo il limite minore di $\epsilon$

Come devo fare ?
sapete aiutarmi vi prego?

[Injo]

Credo che si possa procedere in questo modo: $0 <= |(3x+3)/(5x+1) - 1| < \epsilon$, se $\epsilon$ è piccolo ad arbitrio (o lo fai tendere a $0$) hai che $ |(3x+3)/(5x1) - 1|$ rimane tra lo $0$ ed un numero infinitesimo, prossimo a $0$. Quindi $|(3x+3)/(5x+1) - 1|=0 rArr (3x+3)/(5x+1) - 1=0 rArr (3x+3)/(5x+1) =1 $.

[alfox1]

ok forse ho capito...adesso provo a vedere anche altre traccie
ti ringrazio ciao

[apatriarca]

Si dovrebbe trovare un $\delta > 0$ tale che se $0 < |x - 1| < \delta$, $|(3x+3)/(5x+1) - 1| < \epsilon$.

$|(3x+3)/(5x+1) - 1| = |(3x + 3 - 5x - 1)/(5x + 1)|$
$(5x + 1)$ è positivo in un intorno di $1$ e quindi posso scrivere
$|3x + 3 - 5x - 1|/(5x + 1) < \epsilon$
$|2 - 2x| < \epsilon*(5x + 1)$
$2|1 - x| = 2|x - 1| < 2\delta$
$\epsilon(5x + 1) = 5\epsilon(x + 1/5) < 5\delta\epsilon + 6\epsilon$

Otteniamo quindi
$2\delta < 5\delta\epsilon + 6\epsilon$
$\delta < (6\epsilon)/(2 - 5\epsilon)$

$\delta$ è positivo quando $\epsilon < 2/5$ e quindi è accettabile.

[alfox1]

ok quindi sono questi i passaggi da seguire,grazie mille

[alle.fabbri]

In realtà devi studiare la disequazione
$|(3x+1)/(x+5) - 2/3| < \epsilon$
e dimostrare che esiste il $\delta= \delta(\epsilon)$ tale che.....

Forse il testo dell'esercizio è dimostrare con le definizione che il limite non è 1, cioè far vedere che non esiste il $\delta$? Infatti quello che ha scritto apatriarca non dovrebbe essere giusto in teoria, cioè il limite non è 1 ma 2/3, anche se non riesco a capire dove sta l'inghippo......no?

[alfox1]

"alle.fabbri":In realtà devi studiare la disequazione
$|(3x+1)/(x+5) - 2/3| < \epsilon$
e dimostrare che esiste il $\delta= \delta(\epsilon)$ tale che.....

Forse il testo dell'esercizio è dimostrare con le definizione che il limite non è 1, cioè far vedere che non esiste il $\delta$? Infatti quello che ha scritto apatriarca non dovrebbe essere giusto in teoria, cioè il limite non è 1 ma 2/3, anche se non riesco a capire dove sta l'inghippo......no?

ciao no avevo sbagliato a scrivere non è $|(3x+1)/(x+5) - 1| < \epsilon$

ma

$|(3x+3)/(x+5) - | < \epsilon$

avevo messo $1$ al posto del $3$

cmq il limite si trova sostituendo 1 alla x