Esercizio analisi II riconducibile ad un prob. di Couchy
Salve a tutti mi trovo davanti ad un esercizio di questo tipo
Provare che esiste un’unica funzione y = f(x) definita per ogni x ∈ R tale che
x + y(x) + e^x*log(1 + y(x)) = 0 .
Data la richiesta ho pensato di potermi ricondurre al teorema di Esistenza e unicità globale per le eq differenziali
Si dimostra facilmente che y(0)=0 basta sostituire e si arriva all'equazione
y(0)=-log(1-y(0))
di cui credo 0 sia l'unica soluzione, ma non mi interessa ai fini dell'esercizio sapere se ne ho altre
poi allora vado a vedere quanto vale y'
e con un altro po' di conti si arriva a far vedere che
y'=-(1+e^x*log(1+y))*log(1+y))/(e^x+log(1+y))
che è caontinua su tutto R;
Ora però come faccio a mostrare la sublinearità?
Potrei fare dei limiti o condurre uno studio sulla derivata... ma non credo porti a molto.
Provare che esiste un’unica funzione y = f(x) definita per ogni x ∈ R tale che
x + y(x) + e^x*log(1 + y(x)) = 0 .
Data la richiesta ho pensato di potermi ricondurre al teorema di Esistenza e unicità globale per le eq differenziali
Si dimostra facilmente che y(0)=0 basta sostituire e si arriva all'equazione
y(0)=-log(1-y(0))
di cui credo 0 sia l'unica soluzione, ma non mi interessa ai fini dell'esercizio sapere se ne ho altre
poi allora vado a vedere quanto vale y'
e con un altro po' di conti si arriva a far vedere che
y'=-(1+e^x*log(1+y))*log(1+y))/(e^x+log(1+y))
che è caontinua su tutto R;
Ora però come faccio a mostrare la sublinearità?
Potrei fare dei limiti o condurre uno studio sulla derivata... ma non credo porti a molto.
Risposte
Forse ho avuto fretta... magari posso provare a ragionare con il Teo del Dini... fermo restando che quanto osservato sopra è vero, ho che se
F(x,y)=x + y(x) + e^x*log(1 + y(x))
F(0,0)=0
devo vedere se la derivata parziale rispetto alla y di F è diversa da 0, ma arrivo a
y'(0)+y'(0)
che non mi dice granchè... o no?
volio dire non conosco y e se in 0 avesse un max...
Però potrei vedere come si comporta in base a quella che mi sono ricavato:
y'(0)=0
Quindi il Dini non è applicabile
Giusto?
F(x,y)=x + y(x) + e^x*log(1 + y(x))
F(0,0)=0
devo vedere se la derivata parziale rispetto alla y di F è diversa da 0, ma arrivo a
y'(0)+y'(0)
che non mi dice granchè... o no?
volio dire non conosco y e se in 0 avesse un max...
Però potrei vedere come si comporta in base a quella che mi sono ricavato:
y'(0)=0
Quindi il Dini non è applicabile
Giusto?
Per favore, scrivi le formule come si deve: segui il link nel riquadro rosa in alto. Altrimenti è faticoso leggere quanto scrivi. Grazie.
Ok vi riscrivo la summa in termini più "comprensibili" spero:
$F(x,y)=x+y+e^(x)*log(1+y)$
e fin qui
$(del F)(del y)=-(1+e^x * log(1+y))*(log(1+y))/(e^x+log(1+y))$
che in (0,0) vale 0
ma non avevo notato che iinvece $(delF)/(delx)$ in (0,0) è diverso da zero dunque $(gradF(0,0))$$!= (0,0)$
Dunque il dini è applicabile con successo! o sbaglio?
$F(x,y)=x+y+e^(x)*log(1+y)$
e fin qui
$(del F)(del y)=-(1+e^x * log(1+y))*(log(1+y))/(e^x+log(1+y))$
che in (0,0) vale 0
ma non avevo notato che iinvece $(delF)/(delx)$ in (0,0) è diverso da zero dunque $(gradF(0,0))$$!= (0,0)$
Dunque il dini è applicabile con successo! o sbaglio?
Allora ho cercato di riordinare le idee perchè impostando l'esercizio subito sul teorema della funzione implicita (da noi viene chiamato del Dini)
Allora
$F(x,y)=x+y+e^x*log(1+y)=0$
dunque
$F(0,0)=0$
la mia funzione è molto continua e oltre tutto
$F(0,0)=(0,0)$
le due derivate parziali valgono
$(delF)/(delx)=1+e^x*log(1+y)$
$(delF)/(dely)=1+e^x/(1+y)$
Ora
$\gradF(0,0)!=(0,0)$
Dunque posso applicare il DIni
la derivata allora sarà
$(delF)=(1+e^x*log(1+y))/(1+e^x/(1+y))$
dunque allora l'esercizio continuava chiedendomi di trovare trovare la retta tangente a (0,0)
che dovrebbe essere:
$y=-1/2*x$
ditemi se sbaglio
Allora
$F(x,y)=x+y+e^x*log(1+y)=0$
dunque
$F(0,0)=0$
la mia funzione è molto continua e oltre tutto
$F(0,0)=(0,0)$
le due derivate parziali valgono
$(delF)/(delx)=1+e^x*log(1+y)$
$(delF)/(dely)=1+e^x/(1+y)$
Ora
$\gradF(0,0)!=(0,0)$
Dunque posso applicare il DIni
la derivata allora sarà
$(delF)=(1+e^x*log(1+y))/(1+e^x/(1+y))$
dunque allora l'esercizio continuava chiedendomi di trovare trovare la retta tangente a (0,0)
che dovrebbe essere:
$y=-1/2*x$
ditemi se sbaglio
Il teorema del Dini fornisce solo una condizione locale.
Nel tuo caso però la situazione è abbastanza semplice.
La tua $F$ è definita in $\Omega = \RR \times (-1, +\infty)$, e soddisfa:
1) $F_y(x,y) > 0$ per ogni $(x,y)\in\Omega$;
2) $\lim_{y\to -1^+} F(x,y) = -\infty$ per ogni $x\in\RR$;
3) $\lim_{y\to +\infty} F(x,y) = +\infty$ per ogni $x\in\RR$.
Da questo deduci che, per ogni $x\in\RR$, esiste un unico valore $y(x)\in\RR$ tale che $F(x,y(x)) = 0$.
Per quanto riguarda il calcolo della derivata, puoi applicare localmente il teorema del Dini.
Nel tuo caso però la situazione è abbastanza semplice.
La tua $F$ è definita in $\Omega = \RR \times (-1, +\infty)$, e soddisfa:
1) $F_y(x,y) > 0$ per ogni $(x,y)\in\Omega$;
2) $\lim_{y\to -1^+} F(x,y) = -\infty$ per ogni $x\in\RR$;
3) $\lim_{y\to +\infty} F(x,y) = +\infty$ per ogni $x\in\RR$.
Da questo deduci che, per ogni $x\in\RR$, esiste un unico valore $y(x)\in\RR$ tale che $F(x,y(x)) = 0$.
Per quanto riguarda il calcolo della derivata, puoi applicare localmente il teorema del Dini.
Giusto, grazie mille.
Correggimi se sbaglio: da 1 deduco che le funzione sulle y è monotona e poi da 2 e da 3 e il teorema degli zeri arrivo al dunque.
Grazie 1000
Correggimi se sbaglio: da 1 deduco che le funzione sulle y è monotona e poi da 2 e da 3 e il teorema degli zeri arrivo al dunque.
Grazie 1000
Esatto. 1) fornisce l'unicità (stretta monotonia), 2) e 3) l'esistenza (usando naturalmente la continuità delle restrizioni).
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