Esercizio analisi II
Ciao ragazzi ho un dubbio su un esercizio...adesso lo posto e vi dico come l'ho fatto così magari voi mi dite se ho fatto bene o no e, poi, credo anche che potrebbe essere d'aiuto, qualora sia giusto, a chi magari ha dubbi simili a miei.
Traccia: data $F(x,y)=xy^2+y+sin(xy)+3(e^x-1)$, verificare che in un intorno di $(0,0)$ l'equazione $F(x,y)=0$ definisce implicitamente una funzione $y=g(x)$. Determinare inoltre $y=g(x)$.
Svolgimento:
Il gradiente della funzione è $(y^2+ysen(xy)+3e^x,2xy+xsen(xy) +1)$; per verificare che la $F(x,y)$ definisce implicitamente una funzione in un intorno di $(0,0)$ basta che il gradiente sia $!=$ da $(0,0)$ e che $F(0,0) =0$.
Per trovare la funzione $y=g(x)$, dal teorema del Dini, segue che $y= -3x$, ovvero ho applicato la formula:$ y=y* - ((Fx(x*,y*))/(Fy(x*,y*)))(x-x*)$ dove $(x*,y*)$ in questo caso è $(0,0)$.
Secondo voi è fatto bene o c'è qualcosa che non va?
Grazie anticipatamente
Traccia: data $F(x,y)=xy^2+y+sin(xy)+3(e^x-1)$, verificare che in un intorno di $(0,0)$ l'equazione $F(x,y)=0$ definisce implicitamente una funzione $y=g(x)$. Determinare inoltre $y=g(x)$.
Svolgimento:
Il gradiente della funzione è $(y^2+ysen(xy)+3e^x,2xy+xsen(xy) +1)$; per verificare che la $F(x,y)$ definisce implicitamente una funzione in un intorno di $(0,0)$ basta che il gradiente sia $!=$ da $(0,0)$ e che $F(0,0) =0$.
Per trovare la funzione $y=g(x)$, dal teorema del Dini, segue che $y= -3x$, ovvero ho applicato la formula:$ y=y* - ((Fx(x*,y*))/(Fy(x*,y*)))(x-x*)$ dove $(x*,y*)$ in questo caso è $(0,0)$.
Secondo voi è fatto bene o c'è qualcosa che non va?
Grazie anticipatamente
Risposte
Si può anche provare uno sviluppino di Taylor per cui $F(x,y) = xy^2 + y + 2xy + 3x$ per $x,y -> 0$ da cui $x = -y/(y^2+2y+3)$
Ciao!
Secondo me c'è un erroruccio veniale su entrambe le derivate parziali:
per il resto,ove possibile,in situazioni del genere seguirei sempre il consiglio di Quinzio..
Saluti dal web.
Secondo me c'è un erroruccio veniale su entrambe le derivate parziali:
per il resto,ove possibile,in situazioni del genere seguirei sempre il consiglio di Quinzio..
Saluti dal web.
Si theras con la fretta ho dimenticato di derivare il $sen$ 
cmq, secondo voi quando mi si dice di trovare una funzione del tipo $y=g(x)$ la relazione che ho scritto io sopra, cioè $ y=y* - ((Fx(x*,y*))/(Fy(x*,y*)))(x-x*)$, è sempre valida vero?
cmq, secondo voi quando mi si dice di trovare una funzione del tipo $y=g(x)$ la relazione che ho scritto io sopra, cioè $ y=y* - ((Fx(x*,y*))/(Fy(x*,y*)))(x-x*)$, è sempre valida vero?
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