Esercizio analisi complessa
Ciao a tutti, sto cercando di fare questo esercizio, chiedo conferma e\o suggerimenti su quanto ho fatto 
Allora l'esercizio è questo, è data:
\(\displaystyle f(z)= \frac{e^{2iz} - e^{iz}}{z^2} \)
si richiede:
1) calcolare gli zeri del numeratore
2) individuare le singolarità e calcolarne i residui
3) calcolare
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos2x-cosx}{x^2} dx \)
Ecco le mie idee:
1) Facendo quanche conto si trova che il numeratore si annulla per
\(\displaystyle
e^{iz}=0\) oppure \(\displaystyle e^{iz}=1 \)
le soluzioni si trovano ponendo \(\displaystyle z= x+iy \) è si trova che la prima non ha soluzioni, mentre la seconda si annulla nei punti:
\(\displaystyle x=2k \pi \) con \(\displaystyle k=0,1,2... \) e \(\displaystyle y=0 \). Vi torna?
2) L'unico punto di singolarità è in \(\displaystyle z=0 \), per verificare che tipo di singolarità è devo farne il limite, qui ho il primo problema, è corretto sviluppare in serie gli esponenziali e ottenere questo?
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} \frac{1+2iz-1-iz}{z^2}= \lim_{z \to 0} \frac{i}{z}= \infty \)
Allora l'esercizio è questo, è data:
\(\displaystyle f(z)= \frac{e^{2iz} - e^{iz}}{z^2} \)
si richiede:
1) calcolare gli zeri del numeratore
2) individuare le singolarità e calcolarne i residui
3) calcolare
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos2x-cosx}{x^2} dx \)
Ecco le mie idee:
1) Facendo quanche conto si trova che il numeratore si annulla per
\(\displaystyle
e^{iz}=0\) oppure \(\displaystyle e^{iz}=1 \)
le soluzioni si trovano ponendo \(\displaystyle z= x+iy \) è si trova che la prima non ha soluzioni, mentre la seconda si annulla nei punti:
\(\displaystyle x=2k \pi \) con \(\displaystyle k=0,1,2... \) e \(\displaystyle y=0 \). Vi torna?
2) L'unico punto di singolarità è in \(\displaystyle z=0 \), per verificare che tipo di singolarità è devo farne il limite, qui ho il primo problema, è corretto sviluppare in serie gli esponenziali e ottenere questo?
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} \frac{1+2iz-1-iz}{z^2}= \lim_{z \to 0} \frac{i}{z}= \infty \)
Risposte
Nota che $e^(2iz)-e^(iz)$ ha uno zero del primo ordine, mentre $z^2$ ha uno zero del secondo ordine.
Ne segue che:
ha un polo semplice. Allora il residuo da calcolare è banale e lo ottieni come:
Per quanto riguarda il punto 3), direi che $\int_{-\infty}^(+\infty)[(cos2x-cosx)/x^2]dx=0$, in quanto l'unica singolarità di $f(z)$ si trova sull'asse $text{Re(z)}$, ma su questo punto aspetterei anche altre conferme.
Ne segue che:
$f(z)=[e^(2iz)-e^(iz)]/z^2$
,ha un polo semplice. Allora il residuo da calcolare è banale e lo ottieni come:
$\lim_{z \to 0}zf(z)=\lim_{z \to 0}[e^(2iz)-e^(iz)]/z=i$
Per quanto riguarda il punto 3), direi che $\int_{-\infty}^(+\infty)[(cos2x-cosx)/x^2]dx=0$, in quanto l'unica singolarità di $f(z)$ si trova sull'asse $text{Re(z)}$, ma su questo punto aspetterei anche altre conferme.
Innanzitutto grazie mille per la risposta e la spiegazione! Solo qualche chiarimento:)
1) Posso sempre fare il ragionamento che se ho uno zero e un polo nello stesso punto allora uno elimina l'altro?
2) Lo sviluppo in serie è corretto quindi? Dato che il limite non è finito è necessariamente un polo!
3) Per l'integrale userei il teorema dei residui e il lemma del mezzo residuo no?
1) Posso sempre fare il ragionamento che se ho uno zero e un polo nello stesso punto allora uno elimina l'altro?
2) Lo sviluppo in serie è corretto quindi? Dato che il limite non è finito è necessariamente un polo!
3) Per l'integrale userei il teorema dei residui e il lemma del mezzo residuo no?
"Demostene92":
... per quanto riguarda il punto 3), direi che $\int_{-\infty}^(+\infty)[(cos2x-cosx)/x^2]dx=0$, in quanto l'unica singolarità di $f(z)$ si trova sull'asse $text{Re(z)}$, ma su questo punto aspetterei anche altre conferme.
Tenendo in conto che e'...
$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\ \frac{(2x)^{2n}}{(2 n)!} = 1 - 2\ x^{2} + \frac{1}{3}\ x^{4} -...$ (1)
$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\ \frac{x^{2n}}{n!} = 1 - frac{1}{2}\ x^{2} + \frac{1}{24}\ x^{4} -...$ (2)
... risulta...
$f(x)= \frac {\cos 2x - \cos x}{x^{2}} = - \frac{3}{2} + \frac{7}{24}\ x^{2} -...$ (3)
... cosi' che f(x) non ha poli...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Dò un suggerimento ( spero corretto ) per il calcolo dell'integrale.
Considerando il cammino formato dalla semicirconferenza \( C_R\) di raggio R , dalla semicirconferenza \( C_{\epsilon}\) di raggio \( \epsilon\) centrate nell'origine e situate nel semipiano superiore e dai segmenti \( [-R,-\epsilon]\) ,\( [\epsilon, R]\) sull'asse delle ascisse. Per ii th. di Cauchy abbiamo:
\(\displaystyle f(z)=\frac{e^{2iz}-e^{iz}}{z^2}\)
\( \displaystyle \int_{-R}^{-\epsilon}f(x)dx+\int_{C_{\epsilon}}f(z)dz+\int_{-\epsilon}^Rf(x)dx+\int_{C_R}f(z)dz=0\)
Per il lemma di Jordan :
\( \displaystyle \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{C_R}f(z)=0\)
Inoltre ponendo \( \displaystyle z= \epsilon e^{i \theta}\) e facendo il limite sotto l'integrale :
\( \displaystyle \underset{\epsilon \rightarrow 0}{\lim} \int_{C_{\epsilon}}f(z)dz= \pi\)
Quindi
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{2ix}-e^{ix}}{x^2}+\pi=0\)
da cui:
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{cos 2x-cos x}{x^2}=-\pi\)
Considerando il cammino formato dalla semicirconferenza \( C_R\) di raggio R , dalla semicirconferenza \( C_{\epsilon}\) di raggio \( \epsilon\) centrate nell'origine e situate nel semipiano superiore e dai segmenti \( [-R,-\epsilon]\) ,\( [\epsilon, R]\) sull'asse delle ascisse. Per ii th. di Cauchy abbiamo:
\(\displaystyle f(z)=\frac{e^{2iz}-e^{iz}}{z^2}\)
\( \displaystyle \int_{-R}^{-\epsilon}f(x)dx+\int_{C_{\epsilon}}f(z)dz+\int_{-\epsilon}^Rf(x)dx+\int_{C_R}f(z)dz=0\)
Per il lemma di Jordan :
\( \displaystyle \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{C_R}f(z)=0\)
Inoltre ponendo \( \displaystyle z= \epsilon e^{i \theta}\) e facendo il limite sotto l'integrale :
\( \displaystyle \underset{\epsilon \rightarrow 0}{\lim} \int_{C_{\epsilon}}f(z)dz= \pi\)
Quindi
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{2ix}-e^{ix}}{x^2}+\pi=0\)
da cui:
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{cos 2x-cos x}{x^2}=-\pi\)
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