Esercizio analisi 2 potenziale

[bio941]

Salve qualcuno mi illustra il metodo della spezzata e lo applica per risolvere questo esercizio??

Sia data la forma w=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz si verifichi che è esatta e trovare una funzione potenziale U nell'insieme di definizione con il METODO DELLA SPEZZATA. Successivamente si integri la forma w lungo la curva di equazione (x=t,y=t^2,z=3) con -1

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Risposte

Cuppls1

23 feb 2016, 22:19

Il metodo della spezzata consiste nell integrare da un punto ,ad esempio (0,0), ad un altro generico (x,y) tenendo costante prima y e poi x. È più facile a farsi che a dirsi. Ad esempio integri prima da (0,0) a (x,0) e poi da (x,0) a (x,y). Parametrizzi questi 2 segmenti e il gioco è fatto. Per la seconda richiesta puoi evitare di fare l integrale essendoci un potenziale!
P.S. ovviamente se la forma differenziale è esatta, cosa che io non ho controllato.

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bio941

23 feb 2016, 22:41

Si l'esattezza l ho controllata perché ho verificato la chiusura ovvero Ady=Bdx=1 Adz=Cdx=1 Bdz=Cdy=1 poi le componenti sono tutte iniettive e quindi quello è a posto. Il mio dubbio è come applicare il metodo della spezzata nel caso specifico di 3 variabili tu sapresti svolgermi questa parte cosi posso vedere i passaggi??

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dissonance

25 feb 2016, 11:18

"Le componenti sono tutte iniettive=" ???

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quantunquemente

25 feb 2016, 13:13

@bio
posto $w=Xdx+Ydy+Zdz$,consideriamo i punti
$P_0(0,0,0),P_1(x,0,0,),P_2(x,y,0),P(x,y,z)$
parametrizziamo i vari tratti della spezzata

1) $P_0P_1$ $ { ( x=t ),( y=0 ),( z=0 ):} $ con $t in [0,x]$

2) $P_1P_2$ $ { ( x=x ),( y=t ),( z=0 ):} $ con $t in [0,y]$

3) $P_1P$ $ { ( x=x ),( y=y ),( z=t ):} $ con $t in [0,z]$

è facile verificare che un potenziale si può ottenere in questo modo

$U(x,y,z)= int_(0)^(x) X(t,0,0)dt+int_(0)^(y) Y(x,t,0) dt+int_(0)^(z) Z(x,y,t)dt $

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[Cuppls1]

Il metodo della spezzata consiste nell integrare da un punto ,ad esempio (0,0), ad un altro generico (x,y) tenendo costante prima y e poi x. È più facile a farsi che a dirsi. Ad esempio integri prima da (0,0) a (x,0) e poi da (x,0) a (x,y). Parametrizzi questi 2 segmenti e il gioco è fatto. Per la seconda richiesta puoi evitare di fare l integrale essendoci un potenziale!
P.S. ovviamente se la forma differenziale è esatta, cosa che io non ho controllato.

[bio941]

Si l'esattezza l ho controllata perché ho verificato la chiusura ovvero Ady=Bdx=1 Adz=Cdx=1 Bdz=Cdy=1 poi le componenti sono tutte iniettive e quindi quello è a posto. Il mio dubbio è come applicare il metodo della spezzata nel caso specifico di 3 variabili tu sapresti svolgermi questa parte cosi posso vedere i passaggi??

[dissonance]

"Le componenti sono tutte iniettive=" ???

[quantunquemente]

@bio
posto $w=Xdx+Ydy+Zdz$,consideriamo i punti
$P_0(0,0,0),P_1(x,0,0,),P_2(x,y,0),P(x,y,z)$
parametrizziamo i vari tratti della spezzata

1) $P_0P_1$ $ { ( x=t ),( y=0 ),( z=0 ):} $ con $t in [0,x]$

2) $P_1P_2$ $ { ( x=x ),( y=t ),( z=0 ):} $ con $t in [0,y]$

3) $P_1P$ $ { ( x=x ),( y=y ),( z=t ):} $ con $t in [0,z]$

è facile verificare che un potenziale si può ottenere in questo modo

$U(x,y,z)= int_(0)^(x) X(t,0,0)dt+int_(0)^(y) Y(x,t,0) dt+int_(0)^(z) Z(x,y,t)dt $