Esercizio analisi 2 - funzione implicita (vero o falso)

[nicoD]

Ciao a tutti sto cercando di dare una risposta sensata a questo esercizio

Sia $f ∈ C^2 (R^2; R)$ una funzione che soddisfi alle ipotesi del Teorema della Funzione Implicita in un intorno
di $(1, 2)$. Quale/i delle seguenti affermazioni `e/sono certamente vera/e?
(1)$f(x, y)^2=0$ definisce un’unica funzione implicita in un intorno di (1, 2) - VERO
(2)$f(x, y)^2=0$ soddisfa alle ipotesi del Teorema della funzione Implicita in un intorno di (1, 2) - FALSO

Se f soddisfa le ipotesi del Teorema della Funzione Implicita allora esiste una funzione implicita ed è unica.-fin qui non ci piove! -
il fatto che ci sia la $f^2$ non credo renda false le ipotesi.
Non capisco perché il (2) è falso.

[Anacleto13]

Se soddisfa il teorema allora è necessariamente vero che $f(1,2)=0$

Ipotesi del TFI:

$\partial_yf(x_0,y_0)\ne 0$

$\partial_yf(1,2)^2=2f(1,2)=0$ $\implies$ non soddisfa il TFI.

Fondamentalmente elevando al quadrato la funzione non soddisfa più il teorema del Dini, ma alla fine è come se rimanesse $f(x,y)=0$ per questo definisce comunque una funzione implicita.