Esercizio analisi 2 - funzione implicita ricerca massimi e minimi
Salve a tutti sono alle prese con il seguente tema d'esame
(1)
Verifico le ipotesi del Teorema della Funzione Implicita
$f(x,y)=2x^51 + sinh(y +x^2 +y^2)+ln(e+x^2+y^2)-1$
[list=1][*:1wbv2kb3] $f$ è continua perché somma di funzioni continue - OK![/*:m:1wbv2kb3]
[*:1wbv2kb3] $f(x_0,y_0)=0$ f(0,0)=0 - OK![/*:m:1wbv2kb3]
[*:1wbv2kb3] $D_yf$ esiste in un intorno di (0,0) - OK!
calcolo $D_yf=(1+2y)cosh(y+x^2+y^2)+(2y)/abs(e+x^2+y^2)$[/*:m:1wbv2kb3]
[*:1wbv2kb3] $D_yf(0,0)$ è invertibile (come dire che $D_yf(0,0)!=0$ ) - OK![/*:m:1wbv2kb3][/list:o:1wbv2kb3]
(2)
Non so come procede.
Se calcolo il determinante della matrice Hessiana nel punto (0,0) e risulta = 0.
Si vuole riscrivere l’equazione $2x^51 + sinh(y +x^2 +y^2)+ln(e+x^2+y^2)=1$ in forma equivalente come $y = ϕ(x)$ in un intorno di $(0, 0)$.
Quale/i delle seguenti affermazioni `e/sono certamente vera/e?
(1) Il Teorema della Funzione Implicita assicura che ciò è possibile. - V
(2) $x = 0$ è punto di massimo locale per $ϕ$. - V
(1)
Verifico le ipotesi del Teorema della Funzione Implicita
$f(x,y)=2x^51 + sinh(y +x^2 +y^2)+ln(e+x^2+y^2)-1$
[list=1][*:1wbv2kb3] $f$ è continua perché somma di funzioni continue - OK![/*:m:1wbv2kb3]
[*:1wbv2kb3] $f(x_0,y_0)=0$ f(0,0)=0 - OK![/*:m:1wbv2kb3]
[*:1wbv2kb3] $D_yf$ esiste in un intorno di (0,0) - OK!
calcolo $D_yf=(1+2y)cosh(y+x^2+y^2)+(2y)/abs(e+x^2+y^2)$[/*:m:1wbv2kb3]
[*:1wbv2kb3] $D_yf(0,0)$ è invertibile (come dire che $D_yf(0,0)!=0$ ) - OK![/*:m:1wbv2kb3][/list:o:1wbv2kb3]
(2)
Non so come procede.
Se calcolo il determinante della matrice Hessiana nel punto (0,0) e risulta = 0.
Risposte
"arnett":
Ciao
1) ti è sfuggito un valore assoluto a denominatore, che non ci voleva, ma è giusto
2) ricava uno sviluppo di Taylor intorno a zero per $y(x)$ derivando membro a membro (più volte) l'identità $f(x, y(x))=0$
Perdonami, potresti spiegarti meglio, non ho capito la tua risposta.
Grazie sono riuscito a svolgere gli ultimi passaggi. Anche se non ho chiara la teoria che ci sta dietro...
Provo a spararle grosse, forse è l'unico modo per capire.
La derivata in un punto in analisi 1 (in R) geometricamente è il coefficiente angolare di una retta tangente, per definizione è il limite del rapporto incrementale.
se vogliamo la derivata calcolata nel punto $x_0$ ed è un punto di minimo (es. locale) allora se mi sposto a destra la $f$ cresce, se mi sposto a sinistra decresce.
In analisi 2 queste considerazioni saltano! Non ci muoviamo solo in un'unica direzione, quindi non c'è più destra e sinistra, le direzioni sono tante.
Diciamo appunto che la funzione è derivabile in un punto se ha tutte le derivate parziali.
Poi introduciamo il concetto di differenziale, abbiamo la derivata totale, una matrice le cui componenti sono le derivate parziali. Senza dilungarmi troppo. In Analisi2 quando ho un punto di max/min il gradiente (derivata totale) si annulla, io immagino un piano che affetta la funzione in tre dimensioni. Ora se guardiamo la fetta della funzione sul piano e ci spostiamo con una retta tangente alla funzione 2D dove la retta ha coefficiente angolare nullo abbiamo un punto stazionario, ecc.. Questa cosa deve valere per ogni piano che io prendo passante per quel punto. Una volta che affetto diciamo che ritorno in analisi 1.
quindi avere un gradiente nullo che identifica un punto di massimo significa che se io mi avvicino al punto vado in salita e se me ne vado, vado in discesa. Vale per ogni direzione, cioè ogni derivata direzionale deve fare 0. Ora mi è chiaro che cosa sia il gradiente, posso immaginarlo, ho la definizione, le varie proposizioni, ecc. Ma la derivata seconda? che ruolo ha? come posso immaginarla?
Provo a spararle grosse, forse è l'unico modo per capire.
La derivata in un punto in analisi 1 (in R) geometricamente è il coefficiente angolare di una retta tangente, per definizione è il limite del rapporto incrementale.
se vogliamo la derivata calcolata nel punto $x_0$ ed è un punto di minimo (es. locale) allora se mi sposto a destra la $f$ cresce, se mi sposto a sinistra decresce.
In analisi 2 queste considerazioni saltano! Non ci muoviamo solo in un'unica direzione, quindi non c'è più destra e sinistra, le direzioni sono tante.
Diciamo appunto che la funzione è derivabile in un punto se ha tutte le derivate parziali.
Poi introduciamo il concetto di differenziale, abbiamo la derivata totale, una matrice le cui componenti sono le derivate parziali. Senza dilungarmi troppo. In Analisi2 quando ho un punto di max/min il gradiente (derivata totale) si annulla, io immagino un piano che affetta la funzione in tre dimensioni. Ora se guardiamo la fetta della funzione sul piano e ci spostiamo con una retta tangente alla funzione 2D dove la retta ha coefficiente angolare nullo abbiamo un punto stazionario, ecc.. Questa cosa deve valere per ogni piano che io prendo passante per quel punto. Una volta che affetto diciamo che ritorno in analisi 1.
quindi avere un gradiente nullo che identifica un punto di massimo significa che se io mi avvicino al punto vado in salita e se me ne vado, vado in discesa. Vale per ogni direzione, cioè ogni derivata direzionale deve fare 0. Ora mi è chiaro che cosa sia il gradiente, posso immaginarlo, ho la definizione, le varie proposizioni, ecc. Ma la derivata seconda? che ruolo ha? come posso immaginarla?
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