Esercizio Analisi 2

[Joe3]

Salve,ho risolto questo esercizio,ma ho dei dubbi sui miei risultati.....

sia f(x,y)=xsin(1/y)+ysin(1/x), x e y diversi da 0
=o , se x=y=0

a) trovare lim f(x,y) se (x,y)->(0,0)
b) i limiti lim per y->0 del lim per x->0 di f(x,y) e lim per x->0 del lim per y->0 di f(x,y) esistono?
c) trovare le derivate parziali miste della f(x,y) per x e y diversi da 0
d) f(x,y) è continua in (0,0)?

grazie

[_Tipper]

Io risponderei così:

a) zero

b) non esistono

d) sì, per quanto detto al punto a)

Il punto c) non te lo risolvo, tanto son conti...

[hastings1]

Scusa Joe,
Stavo seguendo la tua discussione: ma come fai il
$lim_((x,y)->(0,0)) xsen(1/y)+ysen(1/x)$?
Che sost fai? y=mx?

[_Tipper]

Non c'è bisogno di sostuzioni: dato che $x$ tende a zero allora $x\sin(\frac{1}{y})$ tende a zero, perché il seno è limitato fra $-1$ e $1$, e il termine $x$ è infinitesimo, stessa zolfa per l'altro termine.

[Joe3]

Scusa Tipper,come fai a dire che i due limiti del caso b) non esistono?
Derive mi dice che fanno entrambi 0

[_Tipper]

Nel caso a) devi determinare $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y)$, e questo fare zero, e penso che siamo tutti d'accordo.

Se interpreto bene il testo, al punto b) devi calcolare $\lim_{y \rightarrow 0} (\lim_{x \rightarrow 0} f(x,y))$

Si vede subito che $\lim_{x \rightarrow 0} f(x,y)$ non esiste, perché $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(\frac{1}{x})$ non esiste, per questo direi che anche $\lim_{y \rightarrow 0} (\lim_{x \rightarrow 0} f(x,y))$ non esiste.

Anche se, più che lo guardo, e più che mi sorgono dubbi...

[Nebula2]

i punti degli assi oltre all'origine appartengono al dominio di f?
se sì, come è definita lì la funzione?

[_Tipper]

Per come è scritta, penso che la funzione non sia definita sugli assi, eccetto l'origine.