Esercizio Analisi 1
Salve sto facendo alcuni esercizi per prepararmi all'esame di analisi matematica 1 in particolare mi sto esercitando sullo studio di funzione, nel mio libro ho trovato un esercizio che non riesco a fare è il seguente:
Consideriamo i rettangoli come in figura 6.15 ( l'immagine caricata sotto), con una base sull'asse delle x, inscritti nella parabola di equazione y=1-x^2. Determinare il rettangolo di area massima (RISPOSTA CORRETTA x=radice(3)/3)
io ho fatto in questo modo:
1) ho calcolato la derivata della funzione della parabola D[1-x^2]=2x
2) Ho messo il risultato trovato in sistema con l'equazione della parabola ( per trovare i punti in cui la parabola si incrocia con la derivata) , ed ho trovato i due punti +2radice(2) e -2radice(2)
3) A questo punto ho considerato i due punti trovati come le due altezze dei due rettangoli, e gli ho moltiplicati per la base x (x è la base in figura)
ma il risultato che trovo non è quello corretto! chi mi sa spiegare dove sbaglio?
Consideriamo i rettangoli come in figura 6.15 ( l'immagine caricata sotto), con una base sull'asse delle x, inscritti nella parabola di equazione y=1-x^2. Determinare il rettangolo di area massima (RISPOSTA CORRETTA x=radice(3)/3)
io ho fatto in questo modo:
1) ho calcolato la derivata della funzione della parabola D[1-x^2]=2x
2) Ho messo il risultato trovato in sistema con l'equazione della parabola ( per trovare i punti in cui la parabola si incrocia con la derivata) , ed ho trovato i due punti +2radice(2) e -2radice(2)
3) A questo punto ho considerato i due punti trovati come le due altezze dei due rettangoli, e gli ho moltiplicati per la base x (x è la base in figura)
ma il risultato che trovo non è quello corretto! chi mi sa spiegare dove sbaglio?
Risposte
Non ho capito esattamente che cosa avresti trovato derivando la parabola (il coefficiente angolare della tangente non interessa in questo problema).
Ricominciamo:
Per prima cosa credo convenga prendere una retta parallela all'asse x, $y=t$ con le condizioni $0<=t<=1$, e intersecarla con la parabola, in questo modo ottieni i quattro vertici dal rettangolo $(sqrt(1-t), t)$, $(-sqrt(1-t), t)$, $(-sqrt(1-t), 0)$, $(sqrt(1-t), 0)$.
La base del rettangolo misura $b=2sqrt(1-t)$ e l'altezza del rettangolo misura $h=t$, perciò l'area viene $A=2tsqrt(1-t)$ adesso che hai la funzione da massimizzare puoi utilizzare le derivate, dovresti ottenere il massimo per $t=2/3$, questo risultato va sostuito poi nelle ascisse dei vertici per trovare i valori delle $x$, per cui otterrai $x= +- sqrt3/3$
Ricominciamo:
Per prima cosa credo convenga prendere una retta parallela all'asse x, $y=t$ con le condizioni $0<=t<=1$, e intersecarla con la parabola, in questo modo ottieni i quattro vertici dal rettangolo $(sqrt(1-t), t)$, $(-sqrt(1-t), t)$, $(-sqrt(1-t), 0)$, $(sqrt(1-t), 0)$.
La base del rettangolo misura $b=2sqrt(1-t)$ e l'altezza del rettangolo misura $h=t$, perciò l'area viene $A=2tsqrt(1-t)$ adesso che hai la funzione da massimizzare puoi utilizzare le derivate, dovresti ottenere il massimo per $t=2/3$, questo risultato va sostuito poi nelle ascisse dei vertici per trovare i valori delle $x$, per cui otterrai $x= +- sqrt3/3$
Ho trovato t =2/3 ma se lo sostituisco nei vertici delle ascisse trovo + e - radice(1/3)
E non è quello che cercavi? Basta razionalizzare.
$sqrt(1/3)=sqrt3/3$
$sqrt(1/3)=sqrt3/3$
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