Esercizio ambiguo su potenza di complesso
Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Dato il numero \(\displaystyle z= \frac{-\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2}\), il più piccolo intero \(\displaystyle n \) positivo tale che \(\displaystyle z^n = -z \) è:
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6
(e) 7
Il mio ragionamento è:
\(\displaystyle z=\frac{-\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2} = \left(\cos \frac{5}{4} \pi + i \sin \frac{5}{4} \pi \right)= e^{i \frac{5 \pi}{4}} \).
So che \(\displaystyle z^n = -z \) e quindi che \(\displaystyle n\cdot \frac{5\pi}{4}= \frac{\pi}{4}=2 \). La soluzione trovata da me non c'è lì e ho deciso di mettere 4. Il risultato però è errato perché la soluzione dice
"L’argomento di z e’ 3π/4 e il modulo e’ 1. La moltiplicazione di un numero
complesso per z corrisponde a ruotare quel numero di 3π/4 in verso antiorario. Tenendo
conto di questo, con un disegno si vede subito, rappresentando i numeri z, z2
, . . ., che il
risultato e’ n = 5."
Ora avrei due domande da porvi:
1) Perchè l'argomento è \(\displaystyle \frac{3\pi}{4} \) anzichè \(\displaystyle \frac{5\pi}{4} \) dato che il seno è negativo?
2) Qualora fosse davvero \(\displaystyle \frac{3\pi}{4} \) perchè \(\displaystyle n=5 \) e non \(\displaystyle n=3 \)?
Chiaritemi le idee
Ringrazio in anticipo
Dato il numero \(\displaystyle z= \frac{-\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2}\), il più piccolo intero \(\displaystyle n \) positivo tale che \(\displaystyle z^n = -z \) è:
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6
(e) 7
Il mio ragionamento è:
\(\displaystyle z=\frac{-\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2} = \left(\cos \frac{5}{4} \pi + i \sin \frac{5}{4} \pi \right)= e^{i \frac{5 \pi}{4}} \).
So che \(\displaystyle z^n = -z \) e quindi che \(\displaystyle n\cdot \frac{5\pi}{4}= \frac{\pi}{4}=2 \). La soluzione trovata da me non c'è lì e ho deciso di mettere 4. Il risultato però è errato perché la soluzione dice
"L’argomento di z e’ 3π/4 e il modulo e’ 1. La moltiplicazione di un numero
complesso per z corrisponde a ruotare quel numero di 3π/4 in verso antiorario. Tenendo
conto di questo, con un disegno si vede subito, rappresentando i numeri z, z2
, . . ., che il
risultato e’ n = 5."
Ora avrei due domande da porvi:
1) Perchè l'argomento è \(\displaystyle \frac{3\pi}{4} \) anzichè \(\displaystyle \frac{5\pi}{4} \) dato che il seno è negativo?
2) Qualora fosse davvero \(\displaystyle \frac{3\pi}{4} \) perchè \(\displaystyle n=5 \) e non \(\displaystyle n=3 \)?
Chiaritemi le idee
Ringrazio in anticipo
Risposte
Ciao penso di aver capito perché è 3/4, l'opposto di un numero complesso in forma trigonometrica si ottiene moltiplicando l'argomento per -1. Quindi sommando un angolo giro si ottiene l'argomento \(\frac{3\pi}{4}\) mentre n è uguale a 5 perché va diviso l'argomento per n.
L'argomento e' $5/4 \pi$ oppure $-3/4 \pi$.
Se e' scritto altrimenti e' un errore.
Non ci sono ambiguita'
Usando l'aritmetica "modulare", e ragionando solo sugli angoli, possiamo ad eempio esprimere l'angolo
come frazione dell'angolo giro (i 360°).
In entrambi i casi servono 5 passaggi, sia partendo dall'angolo positivo, che dall'equivalente negativo.
Caso positivo, si parte da 5/8 e si aggiungono 5/8 ogni volta.
5/8
10/8 = 2/8
7/8
12/8 = 4/8
9/8 = 1/8
Ma funziona anche "in negativo" tenendo a mente che 1/8 = -7/8
Si parte da -3/8 e si aggiungono -3/8 ogni volta.
-3/8
-6/8
-9/8 = -1/8
-4/8
-7/8
Se e' scritto altrimenti e' un errore.
Non ci sono ambiguita'
Usando l'aritmetica "modulare", e ragionando solo sugli angoli, possiamo ad eempio esprimere l'angolo
come frazione dell'angolo giro (i 360°).
In entrambi i casi servono 5 passaggi, sia partendo dall'angolo positivo, che dall'equivalente negativo.
Caso positivo, si parte da 5/8 e si aggiungono 5/8 ogni volta.
5/8
10/8 = 2/8
7/8
12/8 = 4/8
9/8 = 1/8
Ma funziona anche "in negativo" tenendo a mente che 1/8 = -7/8
Si parte da -3/8 e si aggiungono -3/8 ogni volta.
-3/8
-6/8
-9/8 = -1/8
-4/8
-7/8
OK dimenticate la mia risposta perché ho confuso opposto con coniugato. Pardon
Continuo a non comprendere... Perché 5/8?
"Buraka":
Continuo a non comprendere... Perché 5/8?
sono 5/8 di un angolo giro (angolo giro che sarebbe 360^ o $2\pi$).
Leggi $5/8 = 5/4 \pi$
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