Esercizio algebra lineare applicazione lineare

[reanto91]

avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio al più presto.

si consideri l'applicazione lineare fh:R3 in R3 così definita:
fh(e1)=e1+3e2+he3
fh(e2)=2e2
fh(e3)=he1+e2+e3
determinare
1)la matrice Ah associata ad fh
2)al variare di h, Immagine di fh e nucleo di fh
3 f2-1(v) con v=(1,0,2,)

Ditemi se è sbagliato.
per il primo punto abbiamo:
fh(e1)=(1,+3,+h)
fh(e2)=(0,2,0)
fh(e3)=(h,1,1)
quindi la matrice Ah associata ad fh è
(1 0 h)
(3 2 1)
(h 0 1)
Per quanto riguarda l'immagine credo che essendo Im(fh) lo spazio generato dalle colonne di Ah sia:
Im(fh)=[(1,3,h)(0,2,0)(h,1,1)]

[ciampax]

La rappresentazione matriciale è corretta. Per il punto 2) calcola prima il nucleo: esso è dato dai vettori per cui

[math]f(v)=0[/math]

e quindi, se

[math]v=(x,y,z)[/math]

risolvendo il sistema

[math]\left\{\begin{array}{l}
x+hz=0\\ 3x+2y+z=0\\ hx+z=0
\end{array}\right.[/math]

Poiché

[math]\det(A_h)=2(1-h^2)[/math]

è il determinante della matrice dei coefficienti, si ha (usando il Teorema di Cramer)

1) se

[math]\det(A_h)\not=0\ \Rightarrow\ h\not= \pm 1[/math]

l'unica soluzione del sistema è

[math]v=(0,0,0)[/math]

per cui il Nucleo dell'applicazione è banale ed essendo sempre vera la relazione

[math]\dim V=\dim(\ker(f))+\dim(Im(f))[/math]

dove

[math]V[/math]

è lo spazio di partenza, si ha che

[math]\dim(Im(f))=\dim V[/math]

(il nucleo ha dimensione zero) e pertanto l'unica possibilità è che

[math]Im(f)=\mathbb{R}^3[/math]

2) se

[math]h=1[/math]

il sistema diventa

[math]\left\{\begin{array}{l}
x+z=0\\ 3x+2y+z=0\\ x+z=0
\end{array}\right.\ \Rightarrow\ x=-z,\ y=z[/math]

pertanto il nucleo è formato dai vettori della forma

[math]\ker(f)=\{(\alpha,-\alpha,-\alpha)\ :\ \alpha\in\mathbb{R}\}[/math]

e quindi ha dimensione 1 e una sua base è data da

[math]v=(1,-1,-1)[/math]

. Per determinare l'immagine, che in questo caso ha dimensione 2, basta determinare i vettori che sono ortogonali a quello dato: se gli indichiamo in modo generico con

[math]w=(x,y,z)[/math]

allora deve essere

[math]x-y-z=0[/math]

per cui sono i vettori della forma

[math](\alpha+\beta,\alpha,\beta),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math]

e una base è data da

[math]\{(1,1,0),\ (1,0,1)\}[/math]

.

3) se

[math]h=-1[/math]

il sistema diventa

[math]\left\{\begin{array}{l}
x-z=0\\ 3x+2y+z=0\\ -x+z=0
\end{array}\right.\ \Rightarrow\ x=z,\ y=-2z[/math]

pertanto il nucleo è formato dai vettori della forma

[math]\ker(f)=\{(\alpha,-2\alpha,\alpha)\ :\ \alpha\in\mathbb{R}\}[/math]

e quindi ha dimensione 1 e una sua base è data da

[math]v=(1,-2,1)[/math]

. Per determinare l'immagine, che in questo caso ha dimensione 2, basta determinare i vettori che sono ortogonali a quello dato: se gli indichiamo in modo generico con

[math]w=(x,y,z)[/math]

allora deve essere

[math]x-2y+z=0[/math]

per cui sono i vettori della forma

[math](2\alpha-\beta,\alpha,\beta),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math]

e una base è data da

[math]\{(2,1,0),\ (-1,0,1)\}[/math]

.

[reanto91]

per l'immagine come faccio?? il punto 3 come si risolve?

[ciampax]

L'immagine te l'ho spiegato come trovarla! Mi chiedo se tu sappia cosa essa sia!

Per il punto 3: non si capisce la richiesta. Se scrivessi con le formule sarebbe meglio.