Esercizio

[Michele8881]

Ciao a tutti.. volevo chidervi un aiuto con questo esercizio.

Il volume di una palla di neve decresce con una velocità proporzionale all'area della superficie. Sapendo che in un'ora il volume della palla si è dimezzato dire in quanto tempo la palla fonde completamente. (la palla continua a essere sferica).

grazie.
Michele

[gugo82]

Aspettiamo una tua proposta di soluzione, o almeno qualche idea.

Per risolvere il problema basta conoscere le espressioni di volume e area di superficie della sfera che si studiano alle medie e quel po' di Analisi che serve in questi casi.

[Michele8881]

mah.. sono una matricola di fisica e ne saprò molto meno di voi, ma a me sinceramente non sembra un esercizio da scuola media..
comunque provo a spiegare ciò che ho pensato e i miei dubbi.
la sfera decresce con velocità proporzionale alla superficie. tradotto in termini matematici:
$ V'(t)= -kS(t) $ con k costante positiva
conseguenzialmente si ha che:
$ V(t)= -kintS(t) $
inoltre si può facilmente ricavare la relazione tra S(t) e V(t):
S = (36Pi)^1/3 V^2/3
inoltre io so che V(1)=1/2 V(0)
il problema è che la derivata della mia funzione è proporzionale alla superficie della sfera in un certo tempo t, per cui io penso si possa risolvere l'esercizio con le equazioni differenziali (che però non ho ancora studiato) e non semplicemente con l'analisi delle superiori.
Secondo voi è possibile risolvere il problema in un altro modo?
Vi ringrazio.
Michele

[gugo82]

Come siete abili, certe volte, a complicarvi la vita...

Dalle superiori sai che volume ed area di superficie di una sfera di raggio [tex]$r$[/tex] si esprimono mediante:

[tex]$V=\frac{4}{3}\ \pi\ r^3$[/tex] e [tex]$S=4\pi\ r^2$[/tex],

quindi se fai [tex]$r=r(t)$[/tex] dal testo del problema ottieni la relazione:

[tex]$4\pi\ r^2(t)\ r^\prime (t) =V^\prime(t) =-k\ S(t)= -k\ 4\pi\ r^2(t) $[/tex]

ossia:

[tex]$r^\prime(t)=-k$[/tex];

se chiami [tex]$r_0>0$[/tex] il raggio iniziale (cioè a [tex]$t=0$[/tex]) della palla, dalla precedente relazione segue elementarmente (se uno vuole fare proprio le cose per bene, si integrano i due membri in [tex]$[0,t]$[/tex]):

[tex]$r(t)=r_0-k\ t$[/tex].

Per le condizioni poste hai:

[tex]$V(1)=\frac{1}{2}\ V(0)$[/tex]

cioè:

[tex]$r(1)=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\ r_0$[/tex],

ma è anche:

[tex]$r(1)=r_0-k$[/tex],

sicché confrontando le due espressioni per [tex]$r(1)$[/tex] ottieni:

[tex]$k=\left( 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\ r_0$[/tex].

Sostituendo:

[tex]$r(t)=r_0\ \left[ 1-(1-\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}})\ t\right]$[/tex].

Ti interessa determinare l'istante [tex]$\overline{t}$[/tex] in cui [tex]$V(\overline{t})=0$[/tex]: questo è lo stesso istante per cui risulta [tex]$r(\overline{t})=0$[/tex]; pertanto basta risolvere un'equazione di primo grado.

Più elementare di così... Tutta Matematica delle superiori.

[Michele8881]

scusa ma non capisco questa relazione

[tex]$4\pi\ r^2(t)\ r^\prime (t) =V^\prime(t) =-k\ S(t)= -k\ 4\pi\ r^2(t) $[/tex]

[gugo82]

Beh, [tex]$V^\prime (t) =-k\ S(t)$[/tex] è la stessa che avevi dedotto anche tu dal testo del problema.
Io ho solo aggiunto un'espressione esplicita per [tex]$S(t)$[/tex] e [tex]$V^\prime (t)$[/tex] in funzione di [tex]$r(t)$[/tex] (ed ovviamente ho tenuto presente il teorema di derivazione delle funzioni composte per determinare [tex]$V^\prime (t)$[/tex] a partire da [tex]$V(t)$[/tex]).