ESERCIZIO

[marktrix]

determinare a tale in modo che sia convergente: $int_1^(+oo)((x^6+x^2)^{1/3} - x^2)^a$
come si deve procedere?

[Fioravante Patrone1]

non c'è nessuna serie

controlla il testo dell'esercizio

ciao

[marktrix]

è vero scusa...c'è solo da determinare a in modo che quello sia convergente...

[marktrix]

nessun aiuto?

[_luca.barletta]

devi guardare l'ordine di infinitesimo della funzione tra parentesi, per $x->infty$

[marktrix]

Cioè il lim->oo della cosa tra parentesi deve tendere a 0 per un certo valore di a?

bel casino

[marktrix]

$lim{x->oo}((x^6+x^2)^{1/3} - x^2)^a$

= $lim{x->oo}(x^2(1+(1/x^4))^{1/3} - 1)^a$

= $lim{x->oo}(x^2 - 1)^a$ = $oo^a$

per a =-1 il lim è uguale a 0.

Potrebbe essere una soluzione valida?

[_luca.barletta]

ricontrolla bene il primo passaggio, ti sei perso per strada un raccoglimento

[marktrix]

si ho sbagliato anche perchè verrebbe una forma indeterminata...

ma in ogni caso facendo $lim{x->oo}(x^2+x^{2/3}-x^2)^a$ = $lim{x->oo}(x^{2/3})^a$ = $oo^a$

il limite vale 0 per a=-1

così è giusto?

[_luca.barletta]

non capisco da dove esca fuori quel limite

[marktrix]

bè io ho capito che per trovare a in modo che sia convergente quell'integrale,il limite di quella cosa tra parentesi doveva tendere a 0...evidentemente allora non si svolge così,non è mai capitato nei temi d'esame vecchi una cosa simile...in che modo si deve procedere?

[_luca.barletta]

intendevo dire: come fa ad uscire proprio quel limite, il termine $x^(2/3)$ da dove esce?

[marktrix]

ho tolto la radice

[_luca.barletta]

se hai fatto una cosa del tipo $(x^6+x^2)^(1/3)=x^2+x^(2/3)$ ti dico subito che non va bene

[marktrix]

si avevo fatto quello..

[marktrix]

consigli su come svolgerlo?

[_luca.barletta]

$lim_(x->oo)((x^6+x^2)^{1/3} - x^2)$

$=lim_(x->oo)(x^2(1+(1/x^4))^{1/3} - x^2)$

ho ripreso e corretto ciò che avevi già scritto; ora ricorda che $(1+t)^p~1+pt$ per $t->0$, quindi...

[marktrix]

$lim{x->oo} (x^2(1+(1/3x^4))-x^2)^a$
$ = lim{x->oo} (1/3x^2)^a$

verrebbe sempre 0...

[_luca.barletta]

"marktrix":$lim{x->oo} (x^2(1+(1/3x^4))-x^2)^a$

no, $x^4$ al denominatore

[marktrix]

si l'ho inteso al denominatore..dopo ho moltiplicato per $x^2$

e viene $(x^2+(1/(3x^2))-x^2)^a$ = $(1/(3x^2))^a$

che da $0^a$

[_luca.barletta]

"marktrix":si l'ho inteso al denominatore..dopo ho moltiplicato per $x^2$

e viene $(x^2+(1/(3x^2))-x^2)^a$ = $(1/(3x^2))^a$

ok, ti devi fermare qui per dire che l'ordine di infinitesimo è 2a. Ora quale deve essere l'ordine di infinitesimo per $x->+infty$ affinché f(x) sia integrabile?