Esercizio 3 sui massimi e minimi vincolati
Buonasera a tutti, sto svolgendo un esercizio sui massimi e minimi vincolati e non sono sicuro se il procedimento che ho seguito è corretto. Grazie mille per l'aiuto.
CONSEGNA:
Data la funzione f(x,y)= $ x|x|-y^2 $ calcola i massimi e i minimi della funzione vincolati all'insieme $ D={x^2+2y^2<=1} $
SVOLGIMENTO
1. Ho considerato innanzitutto il caso $ x>0 $ .
2. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ ∇f(x,y)=(2x, -2y) $
Il punto critico che ricavo è O = (0,0).
3. Ho determinato la natura del punto critico considerando la matrice hessiana. Ho trovato che il determinante della matrice hessiana è negativo pertanto il punto O = (0,0) è un punto di sella.
4. Successivamente ho considerato f(x,y) ristretta a D. Essendo f(x,y) una funzione continua in quanto polinomiale e D un insieme compatto (cioè chiuso e limitato), allora per il teorema di Weierstrass f(x,y) ha massimo e minimo assoluti in D.
5. Ho applicato il metodo delle intersezioni (l'altro modo che avrei potuto applicare è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange) e ho intersecato la funzione f(x,y) = $ x^2-y^2 $ con la frontiera del dominio, ovvero $ x^2+2y^2=1 $. Per il caso $ x>0 $ ho trovato il punto critico A=(1,0).
6. Ora ho considerato il caso $ x<0 $ .
7. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ ∇f(x,y)=(-2x, -2y) $
Il punto critico che ricavo è O = (0,0).
8. Ho determinato la natura del punto critico considerando la matrice hessiana. Ho trovato che il determinante della matrice hessiana è negativo pertanto il punto O = (0,0) è un punto di sella.
9. Successivamente ho considerato f(x,y) ristretta a D. Essendo f(x,y) una funzione continua in quanto polinomiale e D un insieme compatto (cioè chiuso e limitato), allora per il teorema di Weierstrass f(x,y) ha massimo e minimo assoluti in D.
10. Ho applicato il metodo delle intersezioni (l'altro modo che avrei potuto applicare è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange) e ho intersecato la funzione f(x,y) = $ -x^2-y^2 $ con la frontiera del dominio, ovvero $ x^2+2y^2=1 $. Per il caso $ x<0 $ ho trovato il punto critico B=(-1,0).
11. Trovo che f(A) = 1 e f(B) = -1, pertanto A=(1,0) è un punto di massimo assoluto di f(x,y) ristretta a D mentre B=(-1,0) è un punto di minimo assoluto di f(x,y) ristretta a D.
CONSEGNA:
Data la funzione f(x,y)= $ x|x|-y^2 $ calcola i massimi e i minimi della funzione vincolati all'insieme $ D={x^2+2y^2<=1} $
SVOLGIMENTO
1. Ho considerato innanzitutto il caso $ x>0 $ .
2. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ ∇f(x,y)=(2x, -2y) $
Il punto critico che ricavo è O = (0,0).
3. Ho determinato la natura del punto critico considerando la matrice hessiana. Ho trovato che il determinante della matrice hessiana è negativo pertanto il punto O = (0,0) è un punto di sella.
4. Successivamente ho considerato f(x,y) ristretta a D. Essendo f(x,y) una funzione continua in quanto polinomiale e D un insieme compatto (cioè chiuso e limitato), allora per il teorema di Weierstrass f(x,y) ha massimo e minimo assoluti in D.
5. Ho applicato il metodo delle intersezioni (l'altro modo che avrei potuto applicare è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange) e ho intersecato la funzione f(x,y) = $ x^2-y^2 $ con la frontiera del dominio, ovvero $ x^2+2y^2=1 $. Per il caso $ x>0 $ ho trovato il punto critico A=(1,0).
6. Ora ho considerato il caso $ x<0 $ .
7. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ ∇f(x,y)=(-2x, -2y) $
Il punto critico che ricavo è O = (0,0).
8. Ho determinato la natura del punto critico considerando la matrice hessiana. Ho trovato che il determinante della matrice hessiana è negativo pertanto il punto O = (0,0) è un punto di sella.
9. Successivamente ho considerato f(x,y) ristretta a D. Essendo f(x,y) una funzione continua in quanto polinomiale e D un insieme compatto (cioè chiuso e limitato), allora per il teorema di Weierstrass f(x,y) ha massimo e minimo assoluti in D.
10. Ho applicato il metodo delle intersezioni (l'altro modo che avrei potuto applicare è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange) e ho intersecato la funzione f(x,y) = $ -x^2-y^2 $ con la frontiera del dominio, ovvero $ x^2+2y^2=1 $. Per il caso $ x<0 $ ho trovato il punto critico B=(-1,0).
11. Trovo che f(A) = 1 e f(B) = -1, pertanto A=(1,0) è un punto di massimo assoluto di f(x,y) ristretta a D mentre B=(-1,0) è un punto di minimo assoluto di f(x,y) ristretta a D.
Risposte
Ciao Criss,
Come prima cosa ti chiederei di non postare questo genere di quesiti in Analisi superiore, ma in Analisi matematica di base: anche con l'altro quesito avevi commesso lo stesso errore, infatti forse non ci hai fatto caso, ma te l'hanno spostato in Analisi matematica di base.
Quanto al procedimento mi pare corretto, anche se un po' prolisso...
Dato che $z = f(x,y) = x|x| - y^2 $ e $x^2 + 2y^2 \le 1 \iff x^2/1^2 + y^2/(\sqrt2/2)^2 \le 1 $ (ellisse di semiassi $a = 1 $ e $b = \sqrt2/2 $ i cui punti di intersezione con l'asse $x$ sono $A(1, 0)$ e $B(- 1, 0)$) sulla frontiera si poteva ricavare $y^2 = (1 - x^2)/2 $ e quindi la funzione della sola variabile $x $ seguente:
$z = f(x) = x|x| - 1/2(1 - x^2) = {(3/2x^2 - 1/2 \text{ per } x \ge 0),(- 1/2 x^2 - 1/2 \text{ per } x < 0):} $
La parabola per $x \ge 0 $ assume il suo valore massimo nel punto $A(1, 0) $ e si ha $z_A = 1 $, mentre la parabola per $x < 0 $ assume il suo valore minimo nel punto $B(- 1, 0) $ e si ha $z_B = - 1 $
Come prima cosa ti chiederei di non postare questo genere di quesiti in Analisi superiore, ma in Analisi matematica di base: anche con l'altro quesito avevi commesso lo stesso errore, infatti forse non ci hai fatto caso, ma te l'hanno spostato in Analisi matematica di base.
Quanto al procedimento mi pare corretto, anche se un po' prolisso...
Dato che $z = f(x,y) = x|x| - y^2 $ e $x^2 + 2y^2 \le 1 \iff x^2/1^2 + y^2/(\sqrt2/2)^2 \le 1 $ (ellisse di semiassi $a = 1 $ e $b = \sqrt2/2 $ i cui punti di intersezione con l'asse $x$ sono $A(1, 0)$ e $B(- 1, 0)$) sulla frontiera si poteva ricavare $y^2 = (1 - x^2)/2 $ e quindi la funzione della sola variabile $x $ seguente:
$z = f(x) = x|x| - 1/2(1 - x^2) = {(3/2x^2 - 1/2 \text{ per } x \ge 0),(- 1/2 x^2 - 1/2 \text{ per } x < 0):} $
La parabola per $x \ge 0 $ assume il suo valore massimo nel punto $A(1, 0) $ e si ha $z_A = 1 $, mentre la parabola per $x < 0 $ assume il suo valore minimo nel punto $B(- 1, 0) $ e si ha $z_B = - 1 $
Grazie mille di avwermi informato riguardo la sezione del forum in cui postare questi argomenti. Grazie infinite per la risposta. Effettivamente la strada più corta è sempre la migliore!
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