Esercizio
Considerata la funzione numerica di due variabili
f(x,y)=1/[(x-2)^2+(y-1)^2]^(2/3)
e gli insiemi
Dk={(x,y)E R^2| K^2<=x^2+y^2<=4, 0<=K<=2 }
D ={ = | x^2+y^2<=4 }
si chiede:
Un grafico che rappresenti Dk;
l'integrale di f su Dk;
l'integrale di f su D;
Ringrazio anticipatamente chi riusciarà a risolvere l'esercizio
f(x,y)=1/[(x-2)^2+(y-1)^2]^(2/3)
e gli insiemi
Dk={(x,y)E R^2| K^2<=x^2+y^2<=4, 0<=K<=2 }
D ={ = | x^2+y^2<=4 }
si chiede:
Un grafico che rappresenti Dk;
l'integrale di f su Dk;
l'integrale di f su D;
Ringrazio anticipatamente chi riusciarà a risolvere l'esercizio
Risposte
N.B. Lo stesso esercizio riscritto in forma più chiara.
Considerata la funzine numerica di due variabili e gli insiemi
si chiede:
un grafico che rappresenti Dk
l'integrale di f su Dk
l'integrale di f su D
Modificato da - òneiros il 26/09/2003 13:57:01
Considerata la funzine numerica di due variabili e gli insiemi
si chiede:
un grafico che rappresenti Dk
l'integrale di f su Dk
l'integrale di f su D
Modificato da - òneiros il 26/09/2003 13:57:01
Ecco un altro che ha difficoltà con le immagini... Apri il forum Generale e guarda i seguenti topics:
"Spazio web per tutti"
"AIUTO FIREBALL!!!"
"continuo qui"
ciao
fireball
PS. Benvenuto in Matematicamente.it!!
Modificato da - fireball il 25/09/2003 19:56:18
"Spazio web per tutti"
"AIUTO FIREBALL!!!"
"continuo qui"
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fireball
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Modificato da - fireball il 25/09/2003 19:56:18
Qui sotto, per k=1.1, è rappresento Dk:
Fissiamo un sistema di riferimento con origine in (2;1), che d'ora in poi sarà quindi (0;0).
Notiamo che l'integrale su Dk è uguale alla differenza dell'integrale su D e dell'integrale sul cerchio con centro in (-2;-1) e raggio k. Quest'ultimo ha equazione:
(x+2)^2 + (y+1)^2 <= k^2
x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 - k^2 <= 0
che, in coordinate polari, diventa:
r^2 + 2*(2*cos(t)+sin(t))*r + 5-k^2 <= 0
ovvero, risolvendo rispetto a r:
0 <= r <= -2*cos(t) - sin(t) + sqrt(delta)
con delta=(2*cos(t)+sin(t))^2 - 5 + k^2
L'equazione della funzione considerata in questo sistema di riferimento e in coordinate polari è:
f(r,t) = r^(-4/3)
la funzione integranda sarà quindi:
f(r,t)*r*dr*dt = r^(-1/3) * dr * dt
Integriamo prima in r ottenendo:
(3/2)*r^(2/3) da valutare tra gli estremi dati dall'espressione in rosso. I conti si fanno quasi proibitivi... inoltre avevo provato per un'altra strada (ma simile a dire il vero) e mi risultava un integrale non risolvibile elementarmente. Mi viene il dubbio che si debba ricorrere a qualche scorciatoia... ci penserò!
ciao!
Fissiamo un sistema di riferimento con origine in (2;1), che d'ora in poi sarà quindi (0;0).
Notiamo che l'integrale su Dk è uguale alla differenza dell'integrale su D e dell'integrale sul cerchio con centro in (-2;-1) e raggio k. Quest'ultimo ha equazione:
(x+2)^2 + (y+1)^2 <= k^2
x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 - k^2 <= 0
che, in coordinate polari, diventa:
r^2 + 2*(2*cos(t)+sin(t))*r + 5-k^2 <= 0
ovvero, risolvendo rispetto a r:
0 <= r <= -2*cos(t) - sin(t) + sqrt(delta)
con delta=(2*cos(t)+sin(t))^2 - 5 + k^2
L'equazione della funzione considerata in questo sistema di riferimento e in coordinate polari è:
f(r,t) = r^(-4/3)
la funzione integranda sarà quindi:
f(r,t)*r*dr*dt = r^(-1/3) * dr * dt
Integriamo prima in r ottenendo:
(3/2)*r^(2/3) da valutare tra gli estremi dati dall'espressione in rosso. I conti si fanno quasi proibitivi... inoltre avevo provato per un'altra strada (ma simile a dire il vero) e mi risultava un integrale non risolvibile elementarmente. Mi viene il dubbio che si debba ricorrere a qualche scorciatoia... ci penserò!
ciao!
Grazie per avermi risolto la parte grafica, spero che tu riesca a risolvere anche l'integrale che è un vero rompicapo. Ciao!
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