Esercizio 2 (2005-2006) nel test ammissione IV SNS

Gandalf73
Carissimi,
riprendendo a studiare Analisi mi sono imbattuto in un esercizio del test di ammissione al IV anno della SNS.
Per alcuni non ho trovato soluzioni dalle quali prendere spunto per approfondimento
E' il caso del numero 2 dell'anno 2005-2006.
Il testo reperibile on line riporta il seguente quesito:
data A matrice simmetrica $ n * n $ , si consideri il sistema del secondo ordine:

$ ddot x +A*x = 0 $

1) Per quali A le soluzioni sono tutte limitate e periodiche?
2) Per quali A (senza l'ipotesi di simmetria in essa) le soluzioni sono egualmente tutte limitate e periodiche?

Mi scuso in anticipo se ho errato sezione nel posizionare il quesito,
qualcuno per caso lo ha risolto?
Vi sono nel forum dei posts che si riferiscono alle soluzioni degli esercizi presenti nei testi del 2003-2004/2004-2005?
Un grazie ugualmente a tutti
A.

ps la mia è tanta voglia di spolverare vecchi concetti appresi oramai 20 anni fa...:-(

Risposte
dissonance
Comincia a risolvere nel caso in cui \(A\) è uno scalare. Non è così banale come potrebbe sembrare.

donald_zeka
Nel caso di A simmetrica la cosa è abbastanza semplice, se A è simmetrica è diagonalizzabile con autovalori reali, fai un cambio di variabile $x=Rz$ con R la matrice che diagonalizza A e vedi cosa succede...

Gandalf73
Grazie a tutti!
Per la simmetrica basta osservare gli autovalori.Per la non simmetrica...non saprei da dove iniziare francamente :-(
A.

dissonance
Forse puoi fare un discorso di forma normale di Jordan. Vedi post successivo.

[EDIT] Quello che segue non sembra portare a niente.

Ma potrebbe essere più semplice usare la "forma normale triangolare": tutte le matrici quadrate complesse \(A\) sono simili a matrici triangolari superiori. Sulla diagonale principale compaiono gli autovalori. Ecco una vecchia discussione dove si usa questa forma normale:

viewtopic.php?p=248961#p248961

Lo stesso argomento dovrebbe funzionare anche qui
[/EDIT]

dissonance

dissonance
@Gandalf73: Nella sezione "Pensare un po' di più" c'è un topic dedicato agli esercizi della Normale, se ti interessa:

viewtopic.php?f=40&t=104244

I moderatori aggiungeranno presto questo esercizio alla lista.

Gandalf73
Grazie a tutti per la solita disponibilità!
Spero sia utile a qualcuno.
Ne ho altri in cui ho qualche dubbio.
Non debbo preparare alcun esame ma tento di tenermi in allenamento per non perdere i concetti acquisiti.
Ogni tanto provo quindi a togliere un po di polvere :-)
Grazie ancora e....al prossimo quesito....con la speranza che sia di utilità collettiva:-)
A.

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