Esercizio 2 (2005-2006) nel test ammissione IV SNS

[Gandalf73]

Carissimi,
riprendendo a studiare Analisi mi sono imbattuto in un esercizio del test di ammissione al IV anno della SNS.
Per alcuni non ho trovato soluzioni dalle quali prendere spunto per approfondimento
E' il caso del numero 2 dell'anno 2005-2006.
Il testo reperibile on line riporta il seguente quesito:
data A matrice simmetrica $ n * n $ , si consideri il sistema del secondo ordine:

$ ddot x +A*x = 0 $

1) Per quali A le soluzioni sono tutte limitate e periodiche?
2) Per quali A (senza l'ipotesi di simmetria in essa) le soluzioni sono egualmente tutte limitate e periodiche?

Mi scuso in anticipo se ho errato sezione nel posizionare il quesito,
qualcuno per caso lo ha risolto?
Vi sono nel forum dei posts che si riferiscono alle soluzioni degli esercizi presenti nei testi del 2003-2004/2004-2005?
Un grazie ugualmente a tutti
A.

ps la mia è tanta voglia di spolverare vecchi concetti appresi oramai 20 anni fa...

[dissonance]

Comincia a risolvere nel caso in cui \(A\) è uno scalare. Non è così banale come potrebbe sembrare.

[donald_zeka]

Nel caso di A simmetrica la cosa è abbastanza semplice, se A è simmetrica è diagonalizzabile con autovalori reali, fai un cambio di variabile $x=Rz$ con R la matrice che diagonalizza A e vedi cosa succede...

[Gandalf73]

Grazie a tutti!
Per la simmetrica basta osservare gli autovalori.Per la non simmetrica...non saprei da dove iniziare francamente
A.

[dissonance]

Forse puoi fare un discorso di forma normale di Jordan. Vedi post successivo.

[EDIT] Quello che segue non sembra portare a niente.

Ma potrebbe essere più semplice usare la "forma normale triangolare": tutte le matrici quadrate complesse \(A\) sono simili a matrici triangolari superiori. Sulla diagonale principale compaiono gli autovalori. Ecco una vecchia discussione dove si usa questa forma normale:

viewtopic.php?p=248961#p248961

Lo stesso argomento dovrebbe funzionare anche qui
[/EDIT]

[dissonance]

Propongo la mia soluzione, dove tra l'altro spiego l'idea di usare la forma normale di Jordan.

**Soluzione proposta**: Sia
\[\tag{1} \ddot{x}+A x= 0 .\]
Qui \(A\) è una matrice reale o complessa \(n\times n\).

1) Se \(A\) è diagonalizzabile allora le soluzioni di \((1)\) sono tutte limitate e periodiche se e solo se tutti gli autovalori di \(A\) sono reali strettamente positivi.

2) Se \(A\) non è diagonalizzabile allora esiste sempre almeno una soluzione di \((1)\) non limitata e non periodica.

*Dimostrazione*. 1) Se \(A\) è diagonalizzabile si può effettuare un cambio di variabile lineare
\[\tag{2}
x=Uy\]
in modo tale che \((1)\) sia equivalente al sistema di equazioni indipendenti
\[
\ddot{y}_j +\lambda_jy_j = 0,\quad j=1\ldots n.\]
Se \(\lambda_j\ne 0\) allora la soluzione generale di ciascuna di queste equazioni è
\[\tag{3}
y_j=A_j \cos(\sqrt{\lambda_j} t) + B_j \sin(\sqrt{\lambda_j}t), \]
dove \(\sqrt{\lambda_j}\) è una qualsiasi delle due radici quadrate complesse di \(\lambda_j\). Solo se \(\lambda_j> 0\) questa funzione è limitata e periodica per qualsiasi scelta delle costanti arbitrarie \(A_j, B_j\).

Se \(\lambda_j=0\) allora \(y_j(t)=C_j t\) è una soluzione non limitata e non periodica.

2) Se \(A\) non è diagonalizzabile allora la sua forma normale di Jordan ammette almeno un blocco non banale. Il cambio di variabile (2) produce quindi un sistema contenente le due equazioni
\[\tag{4}
\begin{cases}
\ddot{y}_j + \lambda_j y_j + y_{j+1}= 0 \\
\ddot{y}_{j+1}+\lambda_j y_{j+1} = 0.
\end{cases}
\]
Senza perdita di generalità scriviamo \(j=1\) e \(\lambda\) invece di \(\lambda_j\). Il sistema (4) ammette sempre almeno una soluzione non limitata e non periodica; di conseguenza, anche (1) ammette almeno una soluzione con le stesse proprietà. Questo è evidente se \(\lambda \in \mathbb C\setminus (0, \infty)\), perché in tal caso basta considerare nella (4) una soluzione \(y_2\) della seconda equazione non limitata e non periodica. Se invece \(\lambda > 0\), la seconda equazione ammette la soluzione
\[
y_2(t)=2i\sqrt{\lambda}e^{i\sqrt{\lambda} t}.\]
Inserendo questa soluzione nella prima equazione si ottiene
\[\tag{5}
\ddot{y}_1(t)+\lambda y_1(t) + 2i\sqrt{\lambda}e^{i\sqrt{\lambda} t}=0
\]
che ha la soluzione non limitata e non periodica \(y_1(t)=t e^{i\sqrt{\lambda}t}\).
\[
\Box\]
**Commenti**
Il caso interessante è quello non diagonalizzabile, in cui a meno di una trasformazione lineare c'è sempre almeno una coppia legata dalla (4), in cui il secondo oscillatore è libero e fa da termine forzante per il primo. Siccome i due oscillatori hanno la stessa frequenza \(\lambda\), il primo entra in risonanza e produce oscillazioni non limitate.

In una prima versione di questo post ho usato una formula esplicita per \(y_1\), poi mi sono accorto che non era necessaria, ma siccome l'ho già scritta la riporto qui casomai dovesse essere utile per referenza:
\[\tag{6}
y_1(t)=\int_0^t \frac{\sin( \sqrt{-\lambda} (t-\tau))}{\sqrt{-\lambda} } y_2(\tau)\, d\tau + C cos(\sqrt{\lambda} t) + D \sin(\sqrt{\lambda}t).
\]
Questa formula si può ottenere con uno qualsiasi dei metodi per equazioni differenziali ordinarie e lineari: metodo delle costanti arbitrarie, trasformata di Laplace ...

[dissonance]

@Gandalf73: Nella sezione "Pensare un po' di più" c'è un topic dedicato agli esercizi della Normale, se ti interessa:

viewtopic.php?f=40&t=104244

I moderatori aggiungeranno presto questo esercizio alla lista.

[Gandalf73]

Grazie a tutti per la solita disponibilità!
Spero sia utile a qualcuno.
Ne ho altri in cui ho qualche dubbio.
Non debbo preparare alcun esame ma tento di tenermi in allenamento per non perdere i concetti acquisiti.
Ogni tanto provo quindi a togliere un po di polvere
Grazie ancora e....al prossimo quesito....con la speranza che sia di utilità collettiva:-)
A.