Esercizio 1 sui massimi e minimi vincolati
Buonasera a tutti, sto svolgendo un esercizio sui massimi e minimi vincolati e non sono sicuro se il procedimento che ho seguito è corretto. Grazie mille per l'aiuto.
CONSEGNA:
Data la funzione f(x,y,z)= 2xyz calcola i massimi e i minimi della funzione vincolati all'insieme D={ $ x^2+y^2+z^2=3 $ , $ xy=z $ }
SVOLGIMENTO
2. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ ∇f(x,y,z)=(2yz, 2xz, 2yx) $
Il punto critico che ricavo è O = (0,0,0).
3. Ho determinato la natura del punto critico considerando la matrice hessiana. Ho trovato che il determinante della matrice hessiana è nullo pertanto per il momento non si può dire nulla relativamente al punto O = (0,0).
4. Successivamente ho considerato f(x,y,z) ristretta a D. Essendo f(x,y,z) una funzione continua in quanto polinomiale e D un insieme compatto (cioè chiuso e limitato), allora per il teorema di Weierstrass f(x,y) ha massimo e minimo assoluti in D.
5. Ho verificato se si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non si può applicare se la matrice Jacobiana non ha rango massimo, cioè se il determinante delle sottomatrici 2x2 della matrice Jacobiana sono tutti uguali a zero.
Considero la matrice jacobiana:
$ ( ( 2x , 2y , 2z ),( y , x , -1 ) ) $
Semplificando ho ottenuto la matrice jacobiana
$ ( ( x , y , z ),( y , x , -1 ) ) $
Per fare in modo che la matrice Jacobiana non abbia rango massimo, il determinante delle sottomatrici 2x2 della matrice Jacobiana devono essere tutti uguali a zero, cioè deve verificarsi:
$ { ( x^2-y^2 = 0),(y+xz = 0 ),( zy + x =0 ):} $ .
I punti che verificano questo sistema sono A = (0,0), B = (1,1), C = (-1,-1). Nessuno di questi punti appartiene al dominio E pertanto per tutti i punti appartenenti al dominio E si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
6. Posso allora applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Considero il sistema:
$ { ( x^2 + y^2 +z^2 = 3),( xy =z ),( 2yz = 2ax + by ),( 2xz = 2ay + bx ),( 2xy = 2az -b ):} $
Si trovano i punti critici:
A = (1,1,1), B = (-1,-1,1), C = (1,-1,-1), D = (-1,1,-1), E = ( $ sqrt(3) $ , 0,0), F = (- $ sqrt(3) $ , 0,0), G = (0, $ sqrt(3) $ , 0), H = (0. -sqrt(3), 0).
Trovo che f(A)=f(B)==f(C)=f(D)=2, menntre f(E)=f(F)=f(G)=f(H)=0, pertanto i punti A,B,C,D sono i punti di massimo assoluto di f(x,y,z) ristretta ad E mentre i punti E,F,G,H sono i punti di minimo assoluto di f(x,y,z) ristretta ad E.
CONSEGNA:
Data la funzione f(x,y,z)= 2xyz calcola i massimi e i minimi della funzione vincolati all'insieme D={ $ x^2+y^2+z^2=3 $ , $ xy=z $ }
SVOLGIMENTO
2. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ ∇f(x,y,z)=(2yz, 2xz, 2yx) $
Il punto critico che ricavo è O = (0,0,0).
3. Ho determinato la natura del punto critico considerando la matrice hessiana. Ho trovato che il determinante della matrice hessiana è nullo pertanto per il momento non si può dire nulla relativamente al punto O = (0,0).
4. Successivamente ho considerato f(x,y,z) ristretta a D. Essendo f(x,y,z) una funzione continua in quanto polinomiale e D un insieme compatto (cioè chiuso e limitato), allora per il teorema di Weierstrass f(x,y) ha massimo e minimo assoluti in D.
5. Ho verificato se si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non si può applicare se la matrice Jacobiana non ha rango massimo, cioè se il determinante delle sottomatrici 2x2 della matrice Jacobiana sono tutti uguali a zero.
Considero la matrice jacobiana:
$ ( ( 2x , 2y , 2z ),( y , x , -1 ) ) $
Semplificando ho ottenuto la matrice jacobiana
$ ( ( x , y , z ),( y , x , -1 ) ) $
Per fare in modo che la matrice Jacobiana non abbia rango massimo, il determinante delle sottomatrici 2x2 della matrice Jacobiana devono essere tutti uguali a zero, cioè deve verificarsi:
$ { ( x^2-y^2 = 0),(y+xz = 0 ),( zy + x =0 ):} $ .
I punti che verificano questo sistema sono A = (0,0), B = (1,1), C = (-1,-1). Nessuno di questi punti appartiene al dominio E pertanto per tutti i punti appartenenti al dominio E si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
6. Posso allora applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Considero il sistema:
$ { ( x^2 + y^2 +z^2 = 3),( xy =z ),( 2yz = 2ax + by ),( 2xz = 2ay + bx ),( 2xy = 2az -b ):} $
Si trovano i punti critici:
A = (1,1,1), B = (-1,-1,1), C = (1,-1,-1), D = (-1,1,-1), E = ( $ sqrt(3) $ , 0,0), F = (- $ sqrt(3) $ , 0,0), G = (0, $ sqrt(3) $ , 0), H = (0. -sqrt(3), 0).
Trovo che f(A)=f(B)==f(C)=f(D)=2, menntre f(E)=f(F)=f(G)=f(H)=0, pertanto i punti A,B,C,D sono i punti di massimo assoluto di f(x,y,z) ristretta ad E mentre i punti E,F,G,H sono i punti di minimo assoluto di f(x,y,z) ristretta ad E.
Risposte
Ciao Criss,
Mi pare corretto.
Potrebbe darsi però che il tuo professore in questo caso intendesse farti ragionare sulla disuguaglianza fra medie:
$ GM \le AM \le QM $
La funzione è $w = f(x, y, z) = 2xyz $
Dato che uno dei vincoli è $x^2 + y^2 + z^2 = 3 \implies (x^2 + y^2 + z^2)/3 = 1 \implies QM = \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)/3} = 1 $ e quindi si ha:
$\root[3]{xyz} \le (x + y + z)/3 \le \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)/3} = 1 $
ove il segno di uguaglianza vale se e solo se $x = y = z > 0 $ ed in tal caso si ha $ x = y = z = 1 $ da cui il punto di massimo $A(1, 1, 1) \implies w_A = f(1, 1, 1) = 2 $
Si osservi che l'ultima uguaglianza continua a valere anche nel caso in cui $x^2 = y^2 = z^2 = 1 $ dalla quale si ottengono i $4$ punti di massimo $A$, $B$, $C$ e $D$ che hai trovato anche tu (ovviamente scartando tutti quelli che non soddisfano il vincolo $xy = z $: se $x = y = - 1 $ naturalmente deve essere $z = 1 $, se $x = z = - 1 $ allora necessariamente $y = 1 $ e così via... ). Le uniche altre due possibilità per soddisfare l'ultima uguaglianza è che risulti $x^2 = 3 $ e $y^2 = z^2 = 0 $ oppure $y^2 = 3 $ e $x^2 = z^2 = 0 $ ($z^2 = 3 $ e $x^2 = y^2 = 0 $ non è possibile perché non sarebbe soddisfatto il vincolo $xy = z $) dalle quali si ottengono i $4$ punti di minimo $E$, $F$, $G$ e $H$ che hai trovato anche tu.
Mi pare corretto.
Potrebbe darsi però che il tuo professore in questo caso intendesse farti ragionare sulla disuguaglianza fra medie:
$ GM \le AM \le QM $
La funzione è $w = f(x, y, z) = 2xyz $
Dato che uno dei vincoli è $x^2 + y^2 + z^2 = 3 \implies (x^2 + y^2 + z^2)/3 = 1 \implies QM = \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)/3} = 1 $ e quindi si ha:
$\root[3]{xyz} \le (x + y + z)/3 \le \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)/3} = 1 $
ove il segno di uguaglianza vale se e solo se $x = y = z > 0 $ ed in tal caso si ha $ x = y = z = 1 $ da cui il punto di massimo $A(1, 1, 1) \implies w_A = f(1, 1, 1) = 2 $
Si osservi che l'ultima uguaglianza continua a valere anche nel caso in cui $x^2 = y^2 = z^2 = 1 $ dalla quale si ottengono i $4$ punti di massimo $A$, $B$, $C$ e $D$ che hai trovato anche tu (ovviamente scartando tutti quelli che non soddisfano il vincolo $xy = z $: se $x = y = - 1 $ naturalmente deve essere $z = 1 $, se $x = z = - 1 $ allora necessariamente $y = 1 $ e così via... ). Le uniche altre due possibilità per soddisfare l'ultima uguaglianza è che risulti $x^2 = 3 $ e $y^2 = z^2 = 0 $ oppure $y^2 = 3 $ e $x^2 = z^2 = 0 $ ($z^2 = 3 $ e $x^2 = y^2 = 0 $ non è possibile perché non sarebbe soddisfatto il vincolo $xy = z $) dalle quali si ottengono i $4$ punti di minimo $E$, $F$, $G$ e $H$ che hai trovato anche tu.
Grazie mille per la spiegazione!
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