Esercizietto oscuro
Il seguente esercizio dobbiamo consegnarlo entro luendi.
Parlandone con dei "colleghi" non siamo riusciti a tirar fuori
altro che idee strambe. Posto l'esercizio, non che mi aspetti
che qualcuno ce lo risolva (se accade, meglio!), ma soprattutto
perchè non abbiamo neanche capito cosa bisogna fare precisamente.
Si consideri l'equazione della corda vibrante in $[0,1]$ $u_{t t}=u_{x x}$
con condizioni al bordo $u(0)=0, u(1)=1$. Mostrare che esiste un'unica
soluzione stazionaria stabile in una qualche norma.
Il problema è che non ci è stata data una definizione di stabilità e abbiamo
diverse "teorie"....
Parlandone con dei "colleghi" non siamo riusciti a tirar fuori
altro che idee strambe. Posto l'esercizio, non che mi aspetti
che qualcuno ce lo risolva (se accade, meglio!), ma soprattutto
perchè non abbiamo neanche capito cosa bisogna fare precisamente.
Si consideri l'equazione della corda vibrante in $[0,1]$ $u_{t t}=u_{x x}$
con condizioni al bordo $u(0)=0, u(1)=1$. Mostrare che esiste un'unica
soluzione stazionaria stabile in una qualche norma.
Il problema è che non ci è stata data una definizione di stabilità e abbiamo
diverse "teorie"....
Risposte
Ciao, provo a darti una possibile interpretazione.
Se cerchi una possibile soluzione stazionaria la devi scegliere indipendente dal tempo, dai tuoi dati risulta essere
$u(x,t)=x$ (le condizioni iniziali io le ho interpretate come $u(0)=u(0,0)=0$ e $u(1)=u(1,0)=1$).
Ora $u(x,t)=x$ è stabile se per ogni dato iniziale
$u(x,0)=v(x)$ tale che $v(0,0)=0$ e $v(1,0)=1$ e tale che $||v(x)-x||
Risulta che $u_v(x,t)=1/2[v(x-ct)+v(x+ct)]$ (soluzione standard della corda con dato iniziale $v(x)$)
Se consideri la norma L^1 si ha:
$int_0^1 [|1/2[v(x-ct)+v(x+ct)] -x|]<=int_0^1 [|1/2(v(x-ct) -(x-ct))|]+[|1/2(v(x+ct)-(x+ct))|]
in quanto dalla condizione $||v(x)-x||
Spero si capisca...magari un giorno mi leggerò la guida di mathML!
P.S. Dopo l'aiuto di Tipper forse adesso il tutto è più comprensibile...almeno spero!
Se cerchi una possibile soluzione stazionaria la devi scegliere indipendente dal tempo, dai tuoi dati risulta essere
$u(x,t)=x$ (le condizioni iniziali io le ho interpretate come $u(0)=u(0,0)=0$ e $u(1)=u(1,0)=1$).
Ora $u(x,t)=x$ è stabile se per ogni dato iniziale
$u(x,0)=v(x)$ tale che $v(0,0)=0$ e $v(1,0)=1$ e tale che $||v(x)-x||
Risulta che $u_v(x,t)=1/2[v(x-ct)+v(x+ct)]$ (soluzione standard della corda con dato iniziale $v(x)$)
Se consideri la norma L^1 si ha:
$int_0^1 [|1/2[v(x-ct)+v(x+ct)] -x|]<=int_0^1 [|1/2(v(x-ct) -(x-ct))|]+[|1/2(v(x+ct)-(x+ct))|]
in quanto dalla condizione $||v(x)-x||
Spero si capisca...magari un giorno mi leggerò la guida di mathML!
P.S. Dopo l'aiuto di Tipper forse adesso il tutto è più comprensibile...almeno spero!
"Andrea2976":
Spero si capisca...magari un giorno mi leggerò la guida di mathML!
Ti bastava mettere un dollaro all'inizio e uno alla fine di ogni formula, mi sembrano scritte tutte secondo la sintassi che accetta il MathPlayer.
in omaggio a Tipper 
Ciao, provo a darti una possibile interpretazione.
Se cerchi una possibile soluzione stazionaria la devi scegliere indipendente dal tempo e dai tuoi dati risulta essere
$u(x,t)=x$ (le condizioni iniziali io le ho interpretate come $u(0)=u(0,0)=0 e u(1)=u(1,0)=1$).
Ora $u(x,t)=x$ è stabile se per ogni dato iniziale
$u(x,0)=v(x)$ tale che $v(0,0)=0$ e $v(1,0)=1$ e tale che $||v(x)-x||
Risulta che $u_v(x,t)=1/2[v(x-ct)+v(x+ct)]$ (soluzione standard della corda con dato iniziale $v(x)$)
Se consideri la norma $L^1$ si ha:
$int_0^1 [|1/2[v(x-ct)+v(x+ct)] -x|]<=int_0^1 [|1/2[v(x-ct) -(x-ct)|]+|1/2[v(x+ct)-(x+ct)|]
in quanto dalla condizione $||v(x)-x||
Spero si capisca...magari un giorno mi leggerò la guida di mathML!
il tipografo
NB: corretto. Un grazie ed un inchino al proto per la segnalazione!
Ciao, provo a darti una possibile interpretazione.
Se cerchi una possibile soluzione stazionaria la devi scegliere indipendente dal tempo e dai tuoi dati risulta essere
$u(x,t)=x$ (le condizioni iniziali io le ho interpretate come $u(0)=u(0,0)=0 e u(1)=u(1,0)=1$).
Ora $u(x,t)=x$ è stabile se per ogni dato iniziale
$u(x,0)=v(x)$ tale che $v(0,0)=0$ e $v(1,0)=1$ e tale che $||v(x)-x||
Risulta che $u_v(x,t)=1/2[v(x-ct)+v(x+ct)]$ (soluzione standard della corda con dato iniziale $v(x)$)
Se consideri la norma $L^1$ si ha:
$int_0^1 [|1/2[v(x-ct)+v(x+ct)] -x|]<=int_0^1 [|1/2[v(x-ct) -(x-ct)|]+|1/2[v(x+ct)-(x+ct)|]
in quanto dalla condizione $||v(x)-x||
Spero si capisca...magari un giorno mi leggerò la guida di mathML!
il tipografo
NB: corretto. Un grazie ed un inchino al proto per la segnalazione!
Mi domando perché hai fatto il professore, avresti avuto una grandissima carriera da tipografo davanti a te... 
PS: anche se ti è sfuggito un delta_epsilon
PS: anche se ti è sfuggito un delta_epsilon
ok... io alla fine una soluzione l'avevo tentata.. è un pò delirante, ma l'abbiamo fatta
in due e ci pare corretta. Sperando che vi interessi la posto:
Sia $S_0$ lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione
$u_{t t}-\Delta u=0$ con condizioni al bordo nulle $u(0,t)=u(1,t)=0$.
Sia $u_0(x,t)=x$ la nostra soluzione stazionaria. Definisco lo
spazio vettoriale $S=RRx\oplus S_0$. Su $S$ definisco la norma
$||u||_S= $sup${\int_0^1|u_x|^2dx, t\ge0}$
tale "norma" è ben definita come numero reale, in quanto $\le$ dell'energia
e verifica la disuguaglianza triangolare, in quanto formalmente si tratta di fare
prima una norma $L^2$ e poi una $C^0$.
Resta allora solo da dimostrare la positività. Sia $s\in S$ tale
che $||s||=0$, allora $s$ è costante nella variabile $x$. Ma le
funzioni in $S$ valgono tutte $0$ in $0$ e quindi deve essere $s=0$.
Sia ora $\varepsilon>0$, consideriamo il problema
$u_{t t}^{(\varepsilon)}-\Delta u^{(\varepsilon)}=0$
$u^{(\varepsilon)}(0)=0,u^{(\varepsilon)}(1)=1$
$u^{\varepsilon}(x,0)=x+\varepsilon v(x,0)$ (variazione continua della soluzione
stazionaria)
$u_t^{(\varepsilon)}(x,0)=\varepsilonw(x,0)$ (variazione continua dello 0$
Dobbiamo mostrare che $||u_0-u^{(\varepsilon)}||_S\rightarrow0$ per
$\varepsilon\rightarrow0$. Si ha
$||u_0-u^{(\varepsilon)}||_S=\int_0^1|(u_0)_x-u_x^{(\varepsilon)}|^2dx\leq$
$\leq\int_0^1|(u_0)_x-u_x^{(\varepsilon)}|^2+|(u_0)_t-u_t^{(\varepsilon)}|^2dx$
a secondo membro abbiamo l'energia della funzione
$u_0-u^{(\varepsilon)}$ che è conservata e quindi possiamo
valutarla sui dati iniziali. Un semplice conto mostra allora che tende a $0$.
in due e ci pare corretta. Sperando che vi interessi la posto:
Sia $S_0$ lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione
$u_{t t}-\Delta u=0$ con condizioni al bordo nulle $u(0,t)=u(1,t)=0$.
Sia $u_0(x,t)=x$ la nostra soluzione stazionaria. Definisco lo
spazio vettoriale $S=RRx\oplus S_0$. Su $S$ definisco la norma
$||u||_S= $sup${\int_0^1|u_x|^2dx, t\ge0}$
tale "norma" è ben definita come numero reale, in quanto $\le$ dell'energia
e verifica la disuguaglianza triangolare, in quanto formalmente si tratta di fare
prima una norma $L^2$ e poi una $C^0$.
Resta allora solo da dimostrare la positività. Sia $s\in S$ tale
che $||s||=0$, allora $s$ è costante nella variabile $x$. Ma le
funzioni in $S$ valgono tutte $0$ in $0$ e quindi deve essere $s=0$.
Sia ora $\varepsilon>0$, consideriamo il problema
$u_{t t}^{(\varepsilon)}-\Delta u^{(\varepsilon)}=0$
$u^{(\varepsilon)}(0)=0,u^{(\varepsilon)}(1)=1$
$u^{\varepsilon}(x,0)=x+\varepsilon v(x,0)$ (variazione continua della soluzione
stazionaria)
$u_t^{(\varepsilon)}(x,0)=\varepsilonw(x,0)$ (variazione continua dello 0$
Dobbiamo mostrare che $||u_0-u^{(\varepsilon)}||_S\rightarrow0$ per
$\varepsilon\rightarrow0$. Si ha
$||u_0-u^{(\varepsilon)}||_S=\int_0^1|(u_0)_x-u_x^{(\varepsilon)}|^2dx\leq$
$\leq\int_0^1|(u_0)_x-u_x^{(\varepsilon)}|^2+|(u_0)_t-u_t^{(\varepsilon)}|^2dx$
a secondo membro abbiamo l'energia della funzione
$u_0-u^{(\varepsilon)}$ che è conservata e quindi possiamo
valutarla sui dati iniziali. Un semplice conto mostra allora che tende a $0$.
scusa andrea, ma la velocità non la metti?
Ciao,
(mi spiace rispondere solo ora ma ieri ero in viaggio) forse andrebbe aggiunta anche la condizione sulla velocità (nel mio caso) ma con la norma in L^1 tale condizione sarebbe superflua non entrando in gioco.
Magari mi sbaglio.
(mi spiace rispondere solo ora ma ieri ero in viaggio) forse andrebbe aggiunta anche la condizione sulla velocità (nel mio caso) ma con la norma in L^1 tale condizione sarebbe superflua non entrando in gioco.
Magari mi sbaglio.
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