Esercizietto
Sia $\Omega\subsetRR^N$ aperto e limitato e $u\inC^0(\bar{\Omega})\capC^2(\Omega)$, nulla su $\partial\Omega$ e tale che $\Deltau=u^3-u$. Mostrare che $u(x)\subset[-1,1]$.
Risposte
non so... provo un accenno...un pò chiaccherato...
supponiamo prima $u\inC^0(\bar{\Omega})\capC^2(\bar{\Omega})$ (u a valori in R, right?), $N=1$, $\Omega=(0,1)$
Quindi $u=u(x)$. Ora se la funzione assumesse per esempio un valore maggiore di 1, il laplaciano, ovvero la derivata seconda sarebbe positivo. ma allora la funzione nel punto sarebbe convessa e quindi o a destra o a sinistra aumenterebbe (se aumenta col crescere delle x, la derivata è positiva, se aumenta con il decrescere delle x è negativa... altrimenti è un minimo...), aumentando di conseguenza anche la sua derivata seconda. Questo porta ad avere la funzione che a andando verso destra o verso sinistra cresce, e quindi le condizioni $u(0)=0$ e $u(1)=0$ non possono essere entrambe soddisfatte.
per quanto riguarda altri domini ma più che altro altri $N$ l'idea sarebbe seguire il procedimento per $N=1$, ovvero partire dal punto con lavore maggiore di $1$ e costruire un percorso che porti al bordo in modo che la funzione sia sempre crescente. il fatto che il laplaciano sia positivo implica che nel punto almeno una derivata seconda rispetto ad una componente è positiva, e per continuità resterà positiva in un intorno. Mi muovo lungo quella componente. Ora ripeto il procedimento.
Il punto è che in questo modo non ho garanzie di arrivare al bordo, e questo al momento mi lascia un pò interdetto
...
forse però si potrebbe risolvere il problema considerando che la chiusura di $\Omega$ è limitata e quindi la $u$ assume max, insieme al laplaciano....
bon... basta congetture.... ho bisogno di un giudizio e di una opinione su quanto ho scritto, Uber
byez
supponiamo prima $u\inC^0(\bar{\Omega})\capC^2(\bar{\Omega})$ (u a valori in R, right?), $N=1$, $\Omega=(0,1)$
Quindi $u=u(x)$. Ora se la funzione assumesse per esempio un valore maggiore di 1, il laplaciano, ovvero la derivata seconda sarebbe positivo. ma allora la funzione nel punto sarebbe convessa e quindi o a destra o a sinistra aumenterebbe (se aumenta col crescere delle x, la derivata è positiva, se aumenta con il decrescere delle x è negativa... altrimenti è un minimo...), aumentando di conseguenza anche la sua derivata seconda. Questo porta ad avere la funzione che a andando verso destra o verso sinistra cresce, e quindi le condizioni $u(0)=0$ e $u(1)=0$ non possono essere entrambe soddisfatte.
per quanto riguarda altri domini ma più che altro altri $N$ l'idea sarebbe seguire il procedimento per $N=1$, ovvero partire dal punto con lavore maggiore di $1$ e costruire un percorso che porti al bordo in modo che la funzione sia sempre crescente. il fatto che il laplaciano sia positivo implica che nel punto almeno una derivata seconda rispetto ad una componente è positiva, e per continuità resterà positiva in un intorno. Mi muovo lungo quella componente. Ora ripeto il procedimento.
Il punto è che in questo modo non ho garanzie di arrivare al bordo, e questo al momento mi lascia un pò interdetto
... forse però si potrebbe risolvere il problema considerando che la chiusura di $\Omega$ è limitata e quindi la $u$ assume max, insieme al laplaciano....
bon... basta congetture.... ho bisogno di un giudizio e di una opinione su quanto ho scritto, Uber
byez
in realtà anche io avevo seguito un ragionamento del genere e mi ero bloccato al fatto che non sembra ovvio che si possa raggiungere il bordo... alla fine... pensando e ripensando ho trovato una soluzione alternativa, simile a quella, ma che evita quel problema. Se vuoi la scrivo, altrimenti ti ci lascio pensare ancora un pò
altro tentativo... poi se non và bene chiedo l'aiuto ...
può essere utile cercare di vedere come sono fatte le linee di livello attorno ad un punto con immagine maggiore di 1? (e quindi andare a vedere più da vicino come è fatto l'Hessiano della funzione...)
...può essere utile cercare di vedere come sono fatte le linee di livello attorno ad un punto con immagine maggiore di 1? (e quindi andare a vedere più da vicino come è fatto l'Hessiano della funzione...)
mmm.... forse sì... forse no... nel senso che la mia sol è da un certo punto di vista di quel tipo,
però non si parla di hessiano e non vorrei portarti fuori strada...
però non si parla di hessiano e non vorrei portarti fuori strada...
suppongo l'assurdo e prendo il punto. C'è una direzione in cui aumenta la funzione (per un intervallo piccolo) fino ad 1+e. Prendo la linea di livello di 1+e. Questa sarà chiusa. Prendo l'area racchiusa da questa linea di livello. Qui la funzione non può essere minore di 1 (per evitare casini con le linee di livello), ma allora è sempre maggiore di 1. Si è trovato un intorno del punto dove la funzione è sempre maggiore di 1. Ma allora 1 è minimo locale e quindi tutte le derivate parziali sono maggiori di zero....
questo poi si farà per ogni punto dell'intorno... e quindi la funzione sarà sempre maggiore di 1...
boh.... ora devo proprio scappareeeeee..... scusa la confusione!!!!!!!!!!!!!
questo poi si farà per ogni punto dell'intorno... e quindi la funzione sarà sempre maggiore di 1...
boh.... ora devo proprio scappareeeeee..... scusa la confusione!!!!!!!!!!!!!
va bè che l'esistenza di quell'intorno segue anche banalmente dalla continuità... scusa, sai... la fretta 
.... e poi non funzionava nemmeno il ragionamento...
il problema è che non riesco a collegare decentemente l'andamento del laplaciano all'andamento della funzione... nel caso N=1 c'era la derivata seconda, negli altri casi cosa c'è? per singole direzioni qualche informazione c'è, ma non le ho sapute sfruttare... c'è il teorema della media che dà un risultato più "globale" ma il laplaciano non è nullo... che altro?
.... e poi non funzionava nemmeno il ragionamento...il problema è che non riesco a collegare decentemente l'andamento del laplaciano all'andamento della funzione... nel caso N=1 c'era la derivata seconda, negli altri casi cosa c'è? per singole direzioni qualche informazione c'è, ma non le ho sapute sfruttare... c'è il teorema della media che dà un risultato più "globale" ma il laplaciano non è nullo... che altro?
conosci il principio di massimo?
se $\Delta u\ge0$ in un aperto connesso, allora $u$ non ha massimi interni, oppure è costante
se $\Delta u\ge0$ in un aperto connesso, allora $u$ non ha massimi interni, oppure è costante
no non lo conoscevo... 
... cmq ieri ho scritto delle cavolate, ci tengo a precisarlo... sono errate... ora mi accingo a fare altrettanto, ma a scriverle bene...
provo un attimo ad usarlo, anche se ....
Suppongo per esempio e per assurdo che esiste un punto $p$ t.c. $u(p)>1$
Definisco
$K=uuu_i (A_i| A_i sube \Omega, x in A_i=>\Delta u(x)>=0 )$
Vale (forse) $\bar K =\bar \Omega$ e $K$ per ipotesi è non vuoto (esistenza di $P$ e continuità laplaciano).
infatti se le chiusure fossero diverse applicando il teorema del max a K, avrei un max sul bordo di $K$ che appartiene alla parte interna di $\Omega$. Ma allora per continuità trovo una palla $B(p',r)$ ($p'$ sul bordo) dove il laplaciano è maggiore di 0 ($B(p',r) sube K$) e questa è una contraddizione, visto che il fatto che $p'$ è sul bordo implica che $B(p',r) \cap K^(c)!=O/$.
Fatto questo, si ha che il laplaciano è $>=0$ in un insieme $K$ la cui chiusura dà la chiusura di $\Omega$. Il max della funzione quindi deve appartiene al bordo di $K$. E non può appartenere alla parte interna di $\Omega$ (altrimenti trovo il solito intorno dove il laplaciano è maggiore di zero che deve essere incluso in $K$, contraddizione perchè il max appartiene al bordo di $K$ e non a $K$). Quindi il max appartiene al bordo di $\Omega$. Contraddizione perchè là la funzione è nulla...
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Così in pratica ho solo utilizzato che la funzione $x^3-x$ è maggiore di $1$ se x è maggiore di 1, giusto???? ci dev'essere qualcosa di errato...
... cmq ieri ho scritto delle cavolate, ci tengo a precisarlo... sono errate... ora mi accingo a fare altrettanto, ma a scriverle bene... provo un attimo ad usarlo, anche se ....
Suppongo per esempio e per assurdo che esiste un punto $p$ t.c. $u(p)>1$
Definisco
$K=uuu_i (A_i| A_i sube \Omega, x in A_i=>\Delta u(x)>=0 )$
Vale (forse) $\bar K =\bar \Omega$ e $K$ per ipotesi è non vuoto (esistenza di $P$ e continuità laplaciano).
infatti se le chiusure fossero diverse applicando il teorema del max a K, avrei un max sul bordo di $K$ che appartiene alla parte interna di $\Omega$. Ma allora per continuità trovo una palla $B(p',r)$ ($p'$ sul bordo) dove il laplaciano è maggiore di 0 ($B(p',r) sube K$) e questa è una contraddizione, visto che il fatto che $p'$ è sul bordo implica che $B(p',r) \cap K^(c)!=O/$.
Fatto questo, si ha che il laplaciano è $>=0$ in un insieme $K$ la cui chiusura dà la chiusura di $\Omega$. Il max della funzione quindi deve appartiene al bordo di $K$. E non può appartenere alla parte interna di $\Omega$ (altrimenti trovo il solito intorno dove il laplaciano è maggiore di zero che deve essere incluso in $K$, contraddizione perchè il max appartiene al bordo di $K$ e non a $K$). Quindi il max appartiene al bordo di $\Omega$. Contraddizione perchè là la funzione è nulla...
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Così in pratica ho solo utilizzato che la funzione $x^3-x$ è maggiore di $1$ se x è maggiore di 1, giusto???? ci dev'essere qualcosa di errato...
troppe ca**ate???
up!
non mi convince quando mostri che $\bar{K}=\bar{\Omega}$...
Ti propongo una via più semplice: per assurdo il max fosse >1, in un intorno si
avrebbe $\Delta u>0$ e quindi sarebbe costante (dal principio del massimo)...
ma una funzione costante ha laplaciano nullo.
Ti propongo una via più semplice: per assurdo il max fosse >1, in un intorno si
avrebbe $\Delta u>0$ e quindi sarebbe costante (dal principio del massimo)...
ma una funzione costante ha laplaciano nullo.
si... mi pare funzioni... dovevo pensare che avendo una funzione continua su un compatto prendere il massimo sarebbe stato utile (e devo dire che non è la prima volta che non vedo questa cosa 
)..
in effetti per usare il tuo ragionamento, non mi pare serva nemmeno il "principio di massimo", ma basta una proposizione più debole:
Claim: se il laplaciano è $>=0$ in un punto di max (punto interno), allora in quel punto il laplaciano è $=0$.
dim: se per assurdo fosse $>0$, trovo una direzione con derivata seconda strettamente positiva. La funzione rispetto a questa direzione ha sempre un punto di max. La tesi quindi si riconduce a dimostrare il claim in una dimensione, visto che se quì la derivata seconda deve essere nulla, ho un assurdo... e dovrebbe essere banale...
che peraltro è la proprietà che stavo applicando nel primo tentativo... se fossi partito dal max avrebbe funzionato...
------------
in ogni caso, cosa non ti sconfinfera nell'altra dimostrazione? A me pareva corretta, e anche se un pò più ingarbugliata era divertente ... di sicuro qualche particolare và sistemato... precisando magari che talvolta si lavora su componenti connesse, ma cmq... tu credi sia sbagliata???
)..in effetti per usare il tuo ragionamento, non mi pare serva nemmeno il "principio di massimo", ma basta una proposizione più debole:
Claim: se il laplaciano è $>=0$ in un punto di max (punto interno), allora in quel punto il laplaciano è $=0$.
dim: se per assurdo fosse $>0$, trovo una direzione con derivata seconda strettamente positiva. La funzione rispetto a questa direzione ha sempre un punto di max. La tesi quindi si riconduce a dimostrare il claim in una dimensione, visto che se quì la derivata seconda deve essere nulla, ho un assurdo... e dovrebbe essere banale...
che peraltro è la proprietà che stavo applicando nel primo tentativo... se fossi partito dal max avrebbe funzionato...
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in ogni caso, cosa non ti sconfinfera nell'altra dimostrazione? A me pareva corretta, e anche se un pò più ingarbugliata era divertente
... di sicuro qualche particolare và sistemato... precisando magari che talvolta si lavora su componenti connesse, ma cmq... tu credi sia sbagliata???
forse ti toglierò la voglia di proporre altri esercizi uber, ma mi sembra compito del propositore vagliare le soluzione proposte da quelli che cercano di rispondere... ... quali passaggi non ti convincono?
... quali passaggi non ti convincono?
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