Esercizi vero o falso sulle funzioni
Ciao ragazzi,
Sono Marco e volevo chiedervi conferma delle mie risposte e aiuto su alcuni dubbi che mi sono posto sulla risoluzione di questi esercizi vero o falso: chiedo conferma perché sul libro di testo non è segnata la soluzione e spesso capita di non essere d'accordo nel gruppo del corso.
1. Se f è continua in x allora è derivabile in x.
Falso, se è derivabile è continua non il contrario
2. Se f è derivabile in x allora è continua in x.
Vero, per quanto detto prima
3. Se f è integrabile su [a,b] allora è continua su [a,b].
Falso, potrebbe avere un numero finito di discontinuità e quindi essere integrabile ma non continua
4. Se \(\displaystyle f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) è derivabile allora è continua su [a,b].
Vero, non capisco la differenza con quello di prima però
5. Se f è integrabile in [a,b] allora \(\displaystyle f^n \) è integrabile in [a,b].
Vero, per il teorema dell'integrabilità della composta continua e integrabile
6. f è derivabile in un punto se e solo se è differenziabile.
Vero, perché la condizione è necessaria e sufficiente ed allora \(\displaystyle A\leftrightarrow B \)
7. Se f è limitata in [a,b] allora è integrabile in [a,b].
Falso, potrebbe essere limitata ma infinitamente discontinua (non sono sicuro)
8. Se \(\displaystyle f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) è crescente allora è integrabile in [a,b].
Vero, per il teorema che dice che le funzioni monotòne sono integrabili
9. Se f è continua in [a,b] allora ammette primitiva in [a,b].
Vero, per il corollario del teorema sulle proprietà delle funzioni integrali
10. Se f è derivabile in [a,b] allora la derivata f' è continua in [a,b].
Falso, la derivata potrebbe avere un salto in [a,b] o altre discontinuità (non completamente sicuro)
11. Una funzione crescente e continua è derivabile in ogni punto.
Falso, ad esempio la funzione di Weierstrass è continua in ogni punto ma mai derivabile
12. Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) continua e decrescente. Allora è derivabile in ogni punto.
Falso, stessa cosa del precedente
Grazie in anticipo ragazzi,
Spero di essere stato chiaro e di non aver violato nessuna regola (è la mia prima volta sul forum)
Sono Marco e volevo chiedervi conferma delle mie risposte e aiuto su alcuni dubbi che mi sono posto sulla risoluzione di questi esercizi vero o falso: chiedo conferma perché sul libro di testo non è segnata la soluzione e spesso capita di non essere d'accordo nel gruppo del corso.
1. Se f è continua in x allora è derivabile in x.
Falso, se è derivabile è continua non il contrario
2. Se f è derivabile in x allora è continua in x.
Vero, per quanto detto prima
3. Se f è integrabile su [a,b] allora è continua su [a,b].
Falso, potrebbe avere un numero finito di discontinuità e quindi essere integrabile ma non continua
4. Se \(\displaystyle f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) è derivabile allora è continua su [a,b].
Vero, non capisco la differenza con quello di prima però
5. Se f è integrabile in [a,b] allora \(\displaystyle f^n \) è integrabile in [a,b].
Vero, per il teorema dell'integrabilità della composta continua e integrabile
6. f è derivabile in un punto se e solo se è differenziabile.
Vero, perché la condizione è necessaria e sufficiente ed allora \(\displaystyle A\leftrightarrow B \)
7. Se f è limitata in [a,b] allora è integrabile in [a,b].
Falso, potrebbe essere limitata ma infinitamente discontinua (non sono sicuro)
8. Se \(\displaystyle f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) è crescente allora è integrabile in [a,b].
Vero, per il teorema che dice che le funzioni monotòne sono integrabili
9. Se f è continua in [a,b] allora ammette primitiva in [a,b].
Vero, per il corollario del teorema sulle proprietà delle funzioni integrali
10. Se f è derivabile in [a,b] allora la derivata f' è continua in [a,b].
Falso, la derivata potrebbe avere un salto in [a,b] o altre discontinuità (non completamente sicuro)
11. Una funzione crescente e continua è derivabile in ogni punto.
Falso, ad esempio la funzione di Weierstrass è continua in ogni punto ma mai derivabile
12. Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) continua e decrescente. Allora è derivabile in ogni punto.
Falso, stessa cosa del precedente
Grazie in anticipo ragazzi,
Spero di essere stato chiaro e di non aver violato nessuna regola (è la mia prima volta sul forum)
Risposte
1. Ok, esempio $f(x)=|x|$ in $x=0$
2. Ok
3. Ok
4. Si riferisce alla derivata destra e sinistra ed in generale è falso.
5. Ok
6. Ok, ma sono equivalenti solo per quanto riguarda le funzioni di una variabile reale
7. Ok, la funzione di Dirichlet è un sempio di funzione limitata ma non integrabile
8. Ok
9. Ok, direi direttamente per il teorema fondamentale del calcolo integrale
10. È falso, però è una cosa delicata perché appunto una cosa è la derivata di una funzione, una cosa è la continuità della funzione derivata. In generale se una funzione è derivabile, allora la derivata prima non può avere discontinuità di prima specie.
11. Su quella funzione non saprei, ma basta considerare $f(x)={(x ifx in[-1,0)),(x^2 if x in[0,1]):}$
12. Ok, basta considerare $(-f)(x)$ di prima
2. Ok
3. Ok
4. Si riferisce alla derivata destra e sinistra ed in generale è falso.
5. Ok
6. Ok, ma sono equivalenti solo per quanto riguarda le funzioni di una variabile reale
7. Ok, la funzione di Dirichlet è un sempio di funzione limitata ma non integrabile
8. Ok
9. Ok, direi direttamente per il teorema fondamentale del calcolo integrale
10. È falso, però è una cosa delicata perché appunto una cosa è la derivata di una funzione, una cosa è la continuità della funzione derivata. In generale se una funzione è derivabile, allora la derivata prima non può avere discontinuità di prima specie.
11. Su quella funzione non saprei, ma basta considerare $f(x)={(x ifx in[-1,0)),(x^2 if x in[0,1]):}$
12. Ok, basta considerare $(-f)(x)$ di prima
Grazie anto_zoolander 
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