Esercizi vari di Matematica Discreta
Salve ragazzi :hi Volevo chiedervi un aiuto per risolvere questi 6 esercizi di Matematica Discreta:
1) Sia S = {1,2,3,4,5,c,f,d} Scrivere due esempi di partizioni di S. Scrivere due insiemi di parti di S che non sono partizioni di S
2) Trovare coppie di elementi che si corrispondono e coppie di elementi che non si corrispondono nella relazione
3) Sia ∑ l'insieme costituito dalle rette del piano cartesiano, e siano le relazioni binarie definite come segue:
- x
- x
- x
Verificare che la relazione
4) Sia G = {(3,2),(2,3),(2,5),(3,7),(9,9)}, e
5) Sia f:x
(a) Stabilire se f è iniettiva.
(b) Stabilire se f è suriettiva.
(c) Stabilire se f è biettiva.
6) Sia f:S --> t un'applicazione iniettiva. Verificare che S è equipotente ad f(S).
Grazie mille in anticipo :)
1) Sia S = {1,2,3,4,5,c,f,d} Scrivere due esempi di partizioni di S. Scrivere due insiemi di parti di S che non sono partizioni di S
2) Trovare coppie di elementi che si corrispondono e coppie di elementi che non si corrispondono nella relazione
[math]R_{2}[/math]
= ([math]N_{0}[/math]
X [math]N_{0}[/math]
,[math]G_{2}[/math]
) , dove [math]G_{2}[/math]
= {(x,y) [math]\epsilon[/math]
[math]N_{0}[/math]
X [math]N_{0}[/math]
: [math]x^{2}[/math]
= y}3) Sia ∑ l'insieme costituito dalle rette del piano cartesiano, e siano le relazioni binarie definite come segue:
- x
[math]\Re_{1}[/math]
y se e solo se r ed s sono perpendicolari.- x
[math]\Re_{2}[/math]
y se e solo se r ed s sono parallele.- x
[math]\Re_{3}[/math]
y se e solo se r ed s sono incidenti.Verificare che la relazione
[math]\Re_{2}[/math]
è di equivalenza. Cosa possiamo dire delle altre due relazioni?4) Sia G = {(3,2),(2,3),(2,5),(3,7),(9,9)}, e
[math]I_{10}[/math]
l'insieme dei primi 10 numeri naturali positivi. E' possibile completare l'insieme G in modo tale che [math]\Re[/math]
= ([math]I_{10}[/math]
X [math]I_{10}[/math]
, G) sia una relazione di ordine largo?5) Sia f:x
[math]\epsilon[/math]
R --> [math]x^{3}[/math]
+ [math]6x^{2}[/math]
+ 12x + 89 [math]\epsilon[/math]
R (a) Stabilire se f è iniettiva.
(b) Stabilire se f è suriettiva.
(c) Stabilire se f è biettiva.
6) Sia f:S --> t un'applicazione iniettiva. Verificare che S è equipotente ad f(S).
Grazie mille in anticipo :)
Risposte
1) basta applicare la definizione: una partizione è un insieme di insiemi tali che non hanno elementi comuni e che, presi tutti, ridanno l'insieme di partenza.
2) Per trovare le coppie che ti servono, basta fissare di volta in volta un
3) conosci la definizione di relazione di equivalenza? Cosa devi verificare che valga?
4) Una relazione d'ordine largo è, ad esempio,
5) Se
6) se consideri la funzione come
2) Per trovare le coppie che ti servono, basta fissare di volta in volta un
[math]x\in\mathbb{N}_0[/math]
e calcolare [math]x^2=y[/math]
per trovare l'altro elemento.3) conosci la definizione di relazione di equivalenza? Cosa devi verificare che valga?
4) Una relazione d'ordine largo è, ad esempio,
[math]\le[/math]
. Nell'insieme costruito ti pare che sia sempre vero che per ogni coppia [math](a,b)[/math]
si abbia [math]a\le b[/math]
? Oppure si abbia sempre [math]a\ge b[/math]
?5) Se
[math]f[/math]
è iniettiva, allora dall'essere [math]f(x_1)=f(x_2)[/math]
segue che [math]x_1=x_2[/math]
. Prova a risolvere l'equazione [math]x_1^3+6x_1^2+12x_1+89=x_2^3+6x_2^2+12x_2+89[/math]
e verifica se questa cosa è vera. Per la suriettività, invece, chiediti se, fissato [math]y\in\mathbb{R}[/math]
esiste sempre almeno un [math]x\in\mathbb{R}[/math]
tale che [math]f(x)=y[/math]
.6) se consideri la funzione come
[math]f:S\rightarrow f(S)\subset T[/math]
, piuttosto che su tutto T, allora essa è iniettiva ed è pure suriettiva. Quindi...
Ciao Ciampax, grazie per avermi risposto :)
Riguardo l'esercizio 3... una relazione d'equivalenza è una relazione binaria (riflessiva, simmetrica e transitiva).
Riguardo l'esercizio 3... una relazione d'equivalenza è una relazione binaria (riflessiva, simmetrica e transitiva).
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