Esercizi vari di base di analisi 2
La professoressa ci ha finalmente dato una scheda di esercizi e volevo avere un parere su come ho svolto alcuni di essi (sono riuscito a svolgere una buona parte di essi, mentre una parte non so proprio da dove iniziare). Le parti in grassetto non le contate.
1-) $ P_n = (a^n,e^{-an}, log[(1+a/n)^n])$ verificare per quali valori di $a$ converge e calcolarne il limite
Dopo un pò di calcoli ho ottenuto questo:
Per $a < -1, P_n$ non converge e il limite non esiste
Per $a = 1, P_n$ converge e il limite vale $(1,0,1)$
Per $a = 0, P_n$ converge e il limite vale $(0,1,0)$
Per $a > 1, P_n$ non converge
Alla fine ho concluso che $P_n$ converge per $0 <= a <=1$ (ho qualche indecisione per $-1< a <0$)
2-)data la parametrizzazione $\phi(t) = (t-rsint, 1-rcost, ht), h,r >=0$ dire per quali valori dei parametri la curva è regolare e semplice [e si calcoli la lunghezza per h=0 e r=1]
$\Rightarrow$Ho calcolato $\vec \phi'(t) = (1-rcost, rsint, h) $ e effettivamente per $r \ne 0 \^^ h\ne 0, \phi \in C^1$ e inoltre in tali condizioni la terza componente $ht$ è iniettiva (se $s \ne t$ allora $hs \ne ht$) e dunque la curva è semplice
3-)Data la traiettoria $ \phi(t) = (cos(\pi t), sin(\pi t), 1-|t|), t \in [-1,1] $ si verifichi che la curva è regolare a tratti e se ne calcoli la lunghezza. Trovare poi l'equazione della retta tangente per il punto di $\phi $ corrispondente a $t = 1/2$
$\Rightarrow$ Ovviamente la curva non è regolare infatti la terza componente non è derivabile in 0 (per via del modulo) dunque ho considerato i due intervalli $I_1 = [-1,0], I_2 = ]0,1]$. In tali intervalli ho che effettivamente vale $\phi(t)|_{I_1}$ $, \phi(t)|_{I_2} \in C^1$. Per quanto riguarda la lunghezza volevo chiedere: io ho calcolato la lunghezza di $\phi$ in $I_1, I_2$ separatamente (sebbene il risultato dei due integrali sia lo stesso), ovvero mi confermate che quanto sto per scrivere è corretto:
$L(\phi)_{I = [-1,1]} = L(\phi)_{I_1 = [-1,0]} + L(\phi)_{I_2 = (0,1]} = $ in questo caso specifico soltanto $ =2L_{I_1} = 2t\sqrt{\pi^2 +1} $
Per quanto riguarda la retta tangente ho fatto così (se mi confermate che è corretto supporrò che gli altri esercizi in cui chiedeva la retta tangente li abbia fatti correttamente anch'essi ):
$t_0 = 1/2 \Rightarrow \vec \phi(t_0)=(0,1,1/2)$, quindi l'equazione è data da:
$r(\tau) = \phi(t_0) +\tau \vec \phi'(t_0), \tau = (t-t_0)$, ove $\vec \phi'(t_0) = (-\pi, 0,-1)$, ottenendo infine:
$r(\tau) = (0,1,1/2)+\tau(-\pi, 0,-1)$
P.S. Scusate la lunghezza del messaggio, tuttavia sono esercizi corti perciò mi sembrava assurdo fare più threads per ognuno. Probabilmente riserverò threads singoli ad alcuni esercizi che non riuscito svolgere in modo che siano facilmente trovabili da chi ne sarà interessato
1-) $ P_n = (a^n,e^{-an}, log[(1+a/n)^n])$ verificare per quali valori di $a$ converge e calcolarne il limite
Dopo un pò di calcoli ho ottenuto questo:
Per $a < -1, P_n$ non converge e il limite non esiste
Per $a = 1, P_n$ converge e il limite vale $(1,0,1)$
Per $a = 0, P_n$ converge e il limite vale $(0,1,0)$
Per $a > 1, P_n$ non converge
Alla fine ho concluso che $P_n$ converge per $0 <= a <=1$ (ho qualche indecisione per $-1< a <0$)
2-)data la parametrizzazione $\phi(t) = (t-rsint, 1-rcost, ht), h,r >=0$ dire per quali valori dei parametri la curva è regolare e semplice [e si calcoli la lunghezza per h=0 e r=1]
$\Rightarrow$Ho calcolato $\vec \phi'(t) = (1-rcost, rsint, h) $ e effettivamente per $r \ne 0 \^^ h\ne 0, \phi \in C^1$ e inoltre in tali condizioni la terza componente $ht$ è iniettiva (se $s \ne t$ allora $hs \ne ht$) e dunque la curva è semplice
3-)Data la traiettoria $ \phi(t) = (cos(\pi t), sin(\pi t), 1-|t|), t \in [-1,1] $ si verifichi che la curva è regolare a tratti e se ne calcoli la lunghezza. Trovare poi l'equazione della retta tangente per il punto di $\phi $ corrispondente a $t = 1/2$
$\Rightarrow$ Ovviamente la curva non è regolare infatti la terza componente non è derivabile in 0 (per via del modulo) dunque ho considerato i due intervalli $I_1 = [-1,0], I_2 = ]0,1]$. In tali intervalli ho che effettivamente vale $\phi(t)|_{I_1}$ $, \phi(t)|_{I_2} \in C^1$. Per quanto riguarda la lunghezza volevo chiedere: io ho calcolato la lunghezza di $\phi$ in $I_1, I_2$ separatamente (sebbene il risultato dei due integrali sia lo stesso), ovvero mi confermate che quanto sto per scrivere è corretto:
$L(\phi)_{I = [-1,1]} = L(\phi)_{I_1 = [-1,0]} + L(\phi)_{I_2 = (0,1]} = $ in questo caso specifico soltanto $ =2L_{I_1} = 2t\sqrt{\pi^2 +1} $
Per quanto riguarda la retta tangente ho fatto così (se mi confermate che è corretto supporrò che gli altri esercizi in cui chiedeva la retta tangente li abbia fatti correttamente anch'essi ):
$t_0 = 1/2 \Rightarrow \vec \phi(t_0)=(0,1,1/2)$, quindi l'equazione è data da:
$r(\tau) = \phi(t_0) +\tau \vec \phi'(t_0), \tau = (t-t_0)$, ove $\vec \phi'(t_0) = (-\pi, 0,-1)$, ottenendo infine:
$r(\tau) = (0,1,1/2)+\tau(-\pi, 0,-1)$
P.S. Scusate la lunghezza del messaggio, tuttavia sono esercizi corti perciò mi sembrava assurdo fare più threads per ognuno. Probabilmente riserverò threads singoli ad alcuni esercizi che non riuscito svolgere in modo che siano facilmente trovabili da chi ne sarà interessato
Risposte
Perché hai dubbi per \(a\in (-1, 0)\)?
Dissonance dalla tua riposta devo intendere che il resto sia corretto 
? Scherzi a parte, niente pensavo che se fosse negativo mi bastava aggiungere un...Lo scrivo in maniera formale almeno il thread rimane clean:
Se ho $lim_n x^n, x\in ]-1,0[$ mi basta scrivere la precedente come: $lim_n (-1)^n |a|^n $ e siccome so che già che $|a|_n \to 0$ e la mia $\{b_n\}$ è boundata, allora se ricordo bene i criteri di convergenza sulle successioni il prodotto $lim_n a_n \cdot b_n = 0$ e quindi il limite totale per $P_n$ non esiste finito per la seconda componente che invece divergerebbe. Ero in dubbio su $a^n$ e per quali valori convergesse (sono andato un po' a memoria).
? Scherzi a parte, niente pensavo che se fosse negativo mi bastava aggiungere un...Lo scrivo in maniera formale almeno il thread rimane clean:Se ho $lim_n x^n, x\in ]-1,0[$ mi basta scrivere la precedente come: $lim_n (-1)^n |a|^n $ e siccome so che già che $|a|_n \to 0$ e la mia $\{b_n\}$ è boundata, allora se ricordo bene i criteri di convergenza sulle successioni il prodotto $lim_n a_n \cdot b_n = 0$ e quindi il limite totale per $P_n$ non esiste finito per la seconda componente che invece divergerebbe. Ero in dubbio su $a^n$ e per quali valori convergesse (sono andato un po' a memoria).
Però in ogni caso il limite di $P_n$ non esisterebbe finito, perciò non dovrei aver dubbi dici tu? Se fosse così, Me ne sono accorto solo ora
Per il punto 2),
la curva e' regolare in questi casi:
- se $h > 0$
- se $h=0$ e $r \ne 1$
Con i connettivi logici sarebbe:
$ r \ne 1 \vv h\ne 0 $
Inoltre la curva e' semplice in questi casi:
- se $h > 0$
- se $h=0$ e $r \le 1$
la curva e' regolare in questi casi:
- se $h > 0$
- se $h=0$ e $r \ne 1$
Con i connettivi logici sarebbe:
$ r \ne 1 \vv h\ne 0 $
Inoltre la curva e' semplice in questi casi:
- se $h > 0$
- se $h=0$ e $r \le 1$
Grazie mille Quinzio per le precisazioni, in effetti non ci avevo ragionato su abbastanza e mi sono sfuggite. Arigatou
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