Esercizi vari di analisi complessa
Ciao a tutti. Volevo qualche dritta sulla risoluzione di questi esercizi:
I) Trovare le soluzione delle seguenti equazioni (complesse)
1) e^z = 3 + 4i
2) e^(z)^2 = 1
3) Im e^2z = 0
4) e^iz(coniugato solo di z) = e^iz (tutto coniugato)
II) Derivare le seguenti fuzioni (complesse)
5) f(z) = (z^4)*e^(z)^3
6) f(z) = e^ipiz (pi = pigreco)
7) f(z) = e^1/z
8) f(z) = e^(a + b)*(z^2)
III) Vedere se la funzione è armonica e calcolarne l'armonica coniugata:
u(x,y) = (e^xy) * cos[(x^2)/2 - (y^2)/2] ;
IV) Trovare il calore principale dei seguenti logaritmi naturali:
9) log 1; log4; log(-1); log(-4i)
10) log(3 - 4i); log(1/2i); log[(1 - i) / (1 + i)]
11) log(e^3); log(e^i); log(e^2+i);
V) Trovare il valore principale del logaritmo dei seguenti numeri complessi:
12) z = 7
13) z = radical 2 + i radical 2
14) z = e^2i
15) z = -1/4 + 5i
VI) Trovare il valore principale delle seguenti potenze:
16) i^(-i)
17) (1 + i)^(1 - i)
18) (3 + 4i)^1/3
E per ora mi fermo qui. Non mi intaressa la risoluzione di tutti gli esercizi ma capire, prima dell'esame, almeno la risoluzione di uno per tipologia, tanto per ripatere tutti i punti del programma.
Grazie a tutti, e soprattutto AUGURI DI BUON NATALE E BUONE FESTE.
I) Trovare le soluzione delle seguenti equazioni (complesse)
1) e^z = 3 + 4i
2) e^(z)^2 = 1
3) Im e^2z = 0
4) e^iz(coniugato solo di z) = e^iz (tutto coniugato)
II) Derivare le seguenti fuzioni (complesse)
5) f(z) = (z^4)*e^(z)^3
6) f(z) = e^ipiz (pi = pigreco)
7) f(z) = e^1/z
8) f(z) = e^(a + b)*(z^2)
III) Vedere se la funzione è armonica e calcolarne l'armonica coniugata:
u(x,y) = (e^xy) * cos[(x^2)/2 - (y^2)/2] ;
IV) Trovare il calore principale dei seguenti logaritmi naturali:
9) log 1; log4; log(-1); log(-4i)
10) log(3 - 4i); log(1/2i); log[(1 - i) / (1 + i)]
11) log(e^3); log(e^i); log(e^2+i);
V) Trovare il valore principale del logaritmo dei seguenti numeri complessi:
12) z = 7
13) z = radical 2 + i radical 2
14) z = e^2i
15) z = -1/4 + 5i
VI) Trovare il valore principale delle seguenti potenze:
16) i^(-i)
17) (1 + i)^(1 - i)
18) (3 + 4i)^1/3
E per ora mi fermo qui. Non mi intaressa la risoluzione di tutti gli esercizi ma capire, prima dell'esame, almeno la risoluzione di uno per tipologia, tanto per ripatere tutti i punti del programma.
Grazie a tutti, e soprattutto AUGURI DI BUON NATALE E BUONE FESTE.
Risposte
Se tu hai
$e^z=a+bi$
allora scrivendo $z$ in forma estesa $z=x+iy$ ottieni
$e^(x+iy)=(e^x)(cosy+isiny)$
da cui
$a=e^x cosy$
$b=e^x sin y$
e poi
$b/a=tany$
da cui
$y=arctan(b/a)$
$x=ln(a/(cosy))=ln(b/(siny))$
Ciao, spero di esserti stato utile!
$e^z=a+bi$
allora scrivendo $z$ in forma estesa $z=x+iy$ ottieni
$e^(x+iy)=(e^x)(cosy+isiny)$
da cui
$a=e^x cosy$
$b=e^x sin y$
e poi
$b/a=tany$
da cui
$y=arctan(b/a)$
$x=ln(a/(cosy))=ln(b/(siny))$
Ciao, spero di esserti stato utile!
Si grazie. non ho capito bene una cosa che centra alla fine:
x=ln(a/(cosy))=ln(b/(siny))
non ho capito questo.
x=ln(a/(cosy))=ln(b/(siny))
non ho capito questo.
Senti Pivot ,ma che ci vuole a scrivere "e^z=3+4i "et similia tra due simboli di dollaro ?
A volte chi legge e' portato a non rispondere per la difficolta' di interpretare
cio' che sta scritto.
Fai sto' sforzo,su.
Archimede.
A volte chi legge e' portato a non rispondere per la difficolta' di interpretare
cio' che sta scritto.
Fai sto' sforzo,su.
Archimede.
"Pivot":
Si grazie. non ho capito bene una cosa che centra alla fine:
x=ln(a/(cosy))=ln(b/(siny))
non ho capito questo.
Una volta che hai $y$ puoi trovare $x$ ricordando che
$a=e^x cosy$
quindi
$x=ln(a/(cosy))$
in modo analogo trovi l'uguaglianza con $b$.
PS archimede ha ragione, dato che abbiamo MathML usiamolo!
"carlo23":
....
$b/a=tany$
da cui
$y=arctan(b/a)$
$x=ln(a/(cosy))=ln(b/(siny))$
...
Attenzione che $acrtan$ da immagine tra $] -pi/2,pi/2 [$ quindi la tua formula non è generale devi anche considerare i segni di $a$ e $b$ e sommare o sottrarre $pi$ in alcuni casi.
Infine sarebbe meglio scrivere $x=ln(a^2+b^2)/2$ eviti inutili problemi di segno.
Saluti
Mistral
PS poi qualcuni mi spieghi perchè mi viene una parentesi quadra piccola e una grande
ok ora provo a farlo da solo, per vedere se ho capito.
Io non capisco, perchè devo scrivere tra "dollari".
Non è più chiaro cosi? Io credo di si.
Io non capisco, perchè devo scrivere tra "dollari".
Non è più chiaro cosi? Io credo di si.
ok ora provo a farlo da solo, per vedere se ho capito.
Io non capisco, perchè devo scrivere tra "dollari".
Non è più chiaro cosi? Io sono sicuro di si.
Io non capisco, perchè devo scrivere tra "dollari".
Non è più chiaro cosi? Io sono sicuro di si.
"Mistral":
Attenzione che $acrtan$ da immagine tra $] -pi/2,pi/2 [$ quindi la tua formula non è generale devi anche considerare i segni di $a$ e $b$ e sommare o sottrarre $pi$ in alcuni casi....
Grazie, in effetti mi sembrava non molto elegante come l'avevo scritta...
Ma come può esser più chiaro se non racchiudi tra dollari le tue formule?
Sennò
MathMl non riconosce quello che scrivi e non renderizza nulla.
Sai vero che esiste questo programma...
Sennò
MathMl non riconosce quello che scrivi e non renderizza nulla.
Sai vero che esiste questo programma...
so che esiste ma non so come funziona.
Per calcolare il logaritmo di un numero complesso è convenienete scrivere il numero complesso sotto forma esponenziale , cioè porre : $ z = re^t $ essendo $r $ il modulo del numero complesso e $t $ il suo argomento principale, che è un angolo .
Infatti applicando il logaritmo ad entrambi i membri dell'eguaglianza scritta sopra si ottiene : $ ln z = ln r +i *t $.
Questo è il logaritmo principale ; ma il logaritmo di un numero complesso è fatto da infiniti numeri , la formula generale è :
$ ln z = ln r +i(t+2k*pi) $; l'angolo $ t $ è infatti definito a meno di multipli interi di $2pi$
Calcoliamo il logaritmo principale di $ z = sqrt(2)+isqrt(2) $; lo trasformo prima in forma esponenziale così :
$ sqrt(2) +isqrt(2) = 2*e^ipi/4$ da cui : $ln z = ln2 +ipi/4$.
L'espressione che dà tutti logaritmi del numero è invece : $ ln2+i(pi/4 +2kpi) $ ; ponendo $k=0$ si ottiene il logaritmo principale .
Camillo
Infatti applicando il logaritmo ad entrambi i membri dell'eguaglianza scritta sopra si ottiene : $ ln z = ln r +i *t $.
Questo è il logaritmo principale ; ma il logaritmo di un numero complesso è fatto da infiniti numeri , la formula generale è :
$ ln z = ln r +i(t+2k*pi) $; l'angolo $ t $ è infatti definito a meno di multipli interi di $2pi$
Calcoliamo il logaritmo principale di $ z = sqrt(2)+isqrt(2) $; lo trasformo prima in forma esponenziale così :
$ sqrt(2) +isqrt(2) = 2*e^ipi/4$ da cui : $ln z = ln2 +ipi/4$.
L'espressione che dà tutti logaritmi del numero è invece : $ ln2+i(pi/4 +2kpi) $ ; ponendo $k=0$ si ottiene il logaritmo principale .
Camillo
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