ESERCIZI VARI

[marktrix]

1) mi potete spiegare perchè qesto esercizio è stato svolto così?
testo: sia: $-2=sum_(n=3)^(+oo) a_n$ stabilire se esiste e,in caso affermativo,calcolare $lim_{x->oo}a_n$

risoluzione: se una serie converge allora il termine generale ->0 . Quindi $lim_{x->oo}a_n = 0$

2) Dato $ E= sqrt(1+(1/n)-(1/n^2))$ ho trovato che Ha estremo superiore e inferiore che coincidono e che è 1..è possbile?
per n=1 E=1
per n=oo E=1

3) Dato $f(x)=ax+1$ per |x-1|<2
$f(x)=bcos(pi/3x)$ per |x-1|>=2

Stabilire per quali valori di a e b è continua.
Devo svolgerlo il modulo? se o svolgo mi viene che la parte di sinistra della f(x) è definita tra -1<=x<1,e la parte destra è definita per x<=3. A cosa lo devo far tendere i limiti destro e sinistro per eguagliarli e trovare a e b?

Grazie

[_nicola de rosa]

"marktrix":1) mi potete spiegare perchè qesto esercizio è stato svolto così?
testo: sia: $-2=sum_(n=3)^(+oo) a_n$ stabilire se esiste e,in caso affermativo,calcolare $lim_{x->oo}a_n$

risoluzione: se una serie converge allora il termine generale ->0 . Quindi $lim_{x->oo}a_n = 0$

2) Dato $ E= sqrt(1+(1/n)-(1/n^2))$ ho trovato che Ha estremo superiore e inferiore che coincidono e che è 1..è possbile?
per n=1 E=1
per n=oo E=1

3) Dato $f(x)=ax+1$ per |x-1|<2
$f(x)=bcos(pi/3x)$ per |x-1|>=2

Stabilire per quali valori di a e b è continua.
Devo svolgerlo il modulo? se o svolgo mi viene che la parte di sinistra della f(x) è definita tra -1<=x<1,e la parte destra è definita per x<=3. A cosa lo devo far tendere i limiti destro e sinistro per eguagliarli e trovare a e b?

Grazie

3)$f(x)$=${(ax+1,,(-1=3,x<=-1)):}$
Ora $lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1^+)ax+1=-a+1,lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(-pi/3)=b/2$
$lim_(x->3^-)f(x)=lim_(x->3^-)ax+1=3a+1,lim_(x->3^+)f(x)=lim_(x->3^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(pi)=-b$. quindi per avere la continuità dobbiamo imporre
${(-a+1=b/2),(3a+1=-b):}$ cioè ${(a=-3),(b=8):}$

[fabry1985mi]

Per quanto riguarda il calcolo dell'estremo superiore di un insieme non necessariamente questo coincide con il limite della corrispondente successione; in questo caso infatti non è così; calcolando l'estremo superiore abbiamo che:

Poniamo per definizione: $a_n = sqrt(1 + 1/n - 1/n^2)$

Notiamo che: $a_{n+1} <= a_n$ $ forall n>=3$ Se non lo vedi basta scrivere la disequazione e risolverla tenendo presente che $n in mathbb{N}$ e $ n>=0$

Dunque sup$E=a_2=sqrt(5)/2$

Per quanto concerne invece il calcolo dell'estremo inferiore hai ragione tu a dire dire che è 1.

In definitiva abbiamo:

sup$E=maxE=sqrt(5)/2$ mentre inf$E=minE=1$

Spero di essere stato abbastanza chiaro e di non aver sbagliato.

[marktrix]

"nicola de rosa":[quote="marktrix"]1) mi potete spiegare perchè qesto esercizio è stato svolto così?
testo: sia: $-2=sum_(n=3)^(+oo) a_n$ stabilire se esiste e,in caso affermativo,calcolare $lim_{x->oo}a_n$

risoluzione: se una serie converge allora il termine generale ->0 . Quindi $lim_{x->oo}a_n = 0$

2) Dato $ E= sqrt(1+(1/n)-(1/n^2))$ ho trovato che Ha estremo superiore e inferiore che coincidono e che è 1..è possbile?
per n=1 E=1
per n=oo E=1

3) Dato $f(x)=ax+1$ per |x-1|<2
$f(x)=bcos(pi/3x)$ per |x-1|>=2

Stabilire per quali valori di a e b è continua.
Devo svolgerlo il modulo? se o svolgo mi viene che la parte di sinistra della f(x) è definita tra -1<=x<1,e la parte destra è definita per x<=3. A cosa lo devo far tendere i limiti destro e sinistro per eguagliarli e trovare a e b?

Grazie

3)$f(x)$=${(ax+1,,(-1=3,x<=-1)):}$
Ora $lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1^+)ax+1=-a+1,lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(-pi/3)=b/2$
$lim_(x->3^-)f(x)=lim_(x->3^-)ax+1=3a+1,lim_(x->3^+)f(x)=lim_(x->3^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(pi)=-b$. quindi per avere la continuità dobbiamo imporre
${(-a+1=b/2),(3a+1=-b):}$ cioè ${(a=-3),(b=8):}$[/quote]

Grazie della risposta. Tutto chiaro tranne a come hai fatto a trovare la condizione svogendo il modulo nella parte destra di f(x).. x<-1 viene anche a me..ma non riesco a capire perchè x>=3.

[marktrix]

"fabry1985mi":Per quanto riguarda il calcolo dell'estremo superiore di un insieme non necessariamente questo coincide con il limite della corrispondente successione; in questo caso infatti non è così; calcolando l'estremo superiore abbiamo che:

Poniamo per definizione: $a_n = sqrt(1 + 1/n - 1/n^2)$

Notiamo che: $a_{n+1} <= a_n$ $ forall n>=3$ Se non lo vedi basta scrivere la disequazione e risolverla tenendo presente che $n in mathbb{N}$ e $ n>=0$

Dunque sup$E=a_2=sqrt(5)/2$

Per quanto concerne invece il calcolo dell'estremo inferiore hai ragione tu a dire dire che è 1.

In definitiva abbiamo:

sup$E=maxE=sqrt(5)/2$ mentre inf$E=minE=1$

Spero di essere stato abbastanza chiaro e di non aver sbagliato.

grazie mille!!!

[marktrix]

Qualche info per l'esercizio 1?

[leev]

cosa intendi con 'stabilire se esiste' ?
se esistono degli a_n con quella proprietà?

per il resto se hai quella convergenza, per la condizione necessaria di convergenza, il limite tende a zero e lì non ci son problemi...

[marktrix]

guarda sinceramente ho riportato il testo di un tema d'esame universitario così come era scritto...penso intenda vedere se esista quella successione...e nella risoluzione ho trascritto parola per parola cosa ha scritto il prof..
ma sinceramente non ci ho capito molto..

[_nicola de rosa]

"marktrix":[quote="nicola de rosa"][quote="marktrix"]1) mi potete spiegare perchè qesto esercizio è stato svolto così?
testo: sia: $-2=sum_(n=3)^(+oo) a_n$ stabilire se esiste e,in caso affermativo,calcolare $lim_{x->oo}a_n$

risoluzione: se una serie converge allora il termine generale ->0 . Quindi $lim_{x->oo}a_n = 0$

2) Dato $ E= sqrt(1+(1/n)-(1/n^2))$ ho trovato che Ha estremo superiore e inferiore che coincidono e che è 1..è possbile?
per n=1 E=1
per n=oo E=1

3) Dato $f(x)=ax+1$ per |x-1|<2
$f(x)=bcos(pi/3x)$ per |x-1|>=2

Stabilire per quali valori di a e b è continua.
Devo svolgerlo il modulo? se o svolgo mi viene che la parte di sinistra della f(x) è definita tra -1<=x<1,e la parte destra è definita per x<=3. A cosa lo devo far tendere i limiti destro e sinistro per eguagliarli e trovare a e b?

Grazie

3)$f(x)$=${(ax+1,,(-1=3,x<=-1)):}$
Ora $lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1^+)ax+1=-a+1,lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(-pi/3)=b/2$
$lim_(x->3^-)f(x)=lim_(x->3^-)ax+1=3a+1,lim_(x->3^+)f(x)=lim_(x->3^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(pi)=-b$. quindi per avere la continuità dobbiamo imporre
${(-a+1=b/2),(3a+1=-b):}$ cioè ${(a=-3),(b=8):}$[/quote]

Grazie della risposta. Tutto chiaro tranne a come hai fatto a trovare la condizione svogendo il modulo nella parte destra di f(x).. x<-1 viene anche a me..ma non riesco a capire perchè x>=3.[/quote]
$|x-1|>=2$ significa $x-1>=2->x>=3$ U $x-1<=-2->x<=-1$

[marktrix]

Grazie mille...qualche info sul primo?

[Fioravante Patrone1]

"marktrix":Grazie mille...qualche info sul primo?

il primo contiene già anche la risposta
come d'altronde ti aveva già detto leev

[marktrix]

Quindi se mi capita un'esercizio così basta che do quella risposta e dico che il lim deve essere uguale a 0?

grazie mille.

Ciao

[Fioravante Patrone1]

certo, basta questo

ma, se mi permetti, da antico prof di analisi, dico che il difetto sta "nel manico"
il tuo livello di preparazione dovrebbe essere tale per cui non dovresti porti questo tipo di domande riguardo all'esercizio 1
l'unica "giustificazione" che puoi accampare è che eri preoccupato, perplesso per il fatto che fosse così semplice

ciao e buon lavoro, di sabato...

[marktrix]

si infatti..mi sembrava fin troppo semplice che si risolvesse in una riga..di solito ci mettono esercizi abbastanza difficili che sinceramente a noi analisi serve poco dato che studio informatica...ma pretendono abbastanza..sia analisi e soprattutto statistica... speriamo prima o poi di cavarcela....


Ciao e grazie mille per l'aiuto e buon sabato

[marktrix]

E se,ritornando al calcolo dell'estremo superiore e inferiore al posto di quello che ho postato ci fosse stato questo:

$ E= sqrt(1+(1/n)-(2/n^2))$ per n=1,2...

0= infE ma non è minimo

e l'estremo superiore???

[Camillo]

$0 $ è non solo estremo inferiore di E ma anche min ; è assunto per $ n = 1 $ ed essendo un radicale non può avere valore negativi.
Quanto all'estremo sup lo si ottiene per $n = 4 $ ed è anche max ovviamente e vale $3/(2*sqrt(2)) $

[marktrix]

grazie Camillo,ti ho lasciato un messggio in un topic di ricerca di massimo e minimo in cui stavi iscutendo prima...

[marktrix]

ma quindi,mettendo caso che invece che per $n=oo$ si avesse trovato anzichè un valore $oo$ e quello sarebbe il SUP...sarebbe anche massimo in assenza di vincoli?

[marktrix]

"nicola de rosa":[quote="marktrix"]
3) Dato $f(x)=ax+1$ per |x-1|<2
$f(x)=bcos(pi/3x)$ per |x-1|>=2

Stabilire per quali valori di a e b è continua.

3)$f(x)$=${(ax+1,,(-1=3,x<=-1)):}$
Ora $lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1^+)ax+1=-a+1,lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(-pi/3)=b/2$
$lim_(x->3^-)f(x)=lim_(x->3^-)ax+1=3a+1,lim_(x->3^+)f(x)=lim_(x->3^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(pi)=-b$. quindi per avere la continuità dobbiamo imporre
${(-a+1=b/2),(3a+1=-b):}$ cioè ${(a=-3),(b=8):}$

[/quote]

Se mi chiedesse,dopo che ho trovato a e b di cercare l'insieme delle immagini devo fare un grafico approssimativo?è giusto dire che in questo caso ImF=[-8,4] per il ramo di sinistra e ImF=[-8,8] per il ramo di destra?

[marktrix]

"marktrix":[quote="marktrix"]
3) Dato $f(x)=ax+1$ per |x-1|<2
$f(x)=bcos(pi/3x)$ per |x-1|>=2

Stabilire per quali valori di a e b è continua.

3)$f(x)$=${(ax+1,,(-1=3,x<=-1)):}$
Ora $lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1^+)ax+1=-a+1,lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(-pi/3)=b/2$
$lim_(x->3^-)f(x)=lim_(x->3^-)ax+1=3a+1,lim_(x->3^+)f(x)=lim_(x->3^+)b*cos(pi/3*x)=b*cos(pi)=-b$. quindi per avere la continuità dobbiamo imporre
${(-a+1=b/2),(3a+1=-b):}$ cioè ${(a=-3),(b=8):}$

Se mi chiedesse,dopo che ho trovato a e b di cercare l'insieme delle immagini devo fare un grafico approssimativo?è giusto dire che in questo caso ImF=[-8,4] per il ramo di sinistra e ImF=[-8,8] per il ramo di destra?[/quote]

è giusta l'immagine?