Esercizi trasformata di Fourier
Salve a tutti,
avrei bisogno di aiuto su due esercizi riguardo la trasformata di Fourier, il primo è questo e non so proprio come operare:
Determinare i valori di $alpha in R$ per i quali la funzione seguente ammette trasformata di Fuorier classica:
$f(x)=(e^(-5|x|) - e^(-7|x|))/(x*(log(1+x^2))^(\alpha))$
L'altro è: determinare la soluzione $u$ della seguente equazione integrale applicando la trasformata di Fourier
$u(t)-\int_{-infty}^{infty} H(s)*e^-s * (d u)/(dt)(t-s) ds= 1/(1+t^2) + e^(-|t|)$
Dove $H(s)$ è la funzione di Heaviside.
Su questo vorrei una revisione dei passaggi svolti:
il primo dubbio è se, chiamando $f(s)=H(s)*e^-s$ posso considerare la convoluzione di $\int_{-infty}^{infty} f(s) * (d u)/(dt)(t-s)ds$
da cui la trasformata di Fourier della convoluzione sarà $F(f(t)) * F((d u(t))/(dt))$
quindi scriverò $F(f(t))=\int_{-infty}^{infty} H(t)*e^-t * e^(-iomegat) dt=\int_{0}^{infty} e^-t * e^(-iomegat) dt=1/(iomega+1)$ ed inoltre
$F((d u(t))/(dt))=iomegaF(u(t))$
$F(1/(1+t^2))=pi e ^ (-|omega|)$
$F(e^-|t|)=2/(1+omega^2)$
arrivo quindi a scrivere
$F(u)-1/(iomega+1)*iomega*F(u)=pi*e^(-|omega|) + 2/(1+omega^2)$
da cui svolgendo i calcoli arrivo all' espressione $F(u)=iomega(pi e ^ (-|omega|) + 2/(1+omega^2))+(pi e ^ (-|omega|) + 2/(1+omega^2))$
distribuendo ed applicando poi le proprietà della trasformata di Fourier
$iomega pi e^(-|omega|)=iomega F(1/(1+t^2))=F(d(1/(1+t^2))/dt) $
e $iomega 2/(1+omega^2)=iomega F(e^(-|t|))=F(d(e^(-|t|))/dt) $
facendo l' antitrasformata dovrei avere allora in definitiva
$u(t)=d(1/(1+t^2))/dt + d(e^-|t|)/dt + 1/(1+t^2) + e^(-|t|)$
Grazie in anticipo.
avrei bisogno di aiuto su due esercizi riguardo la trasformata di Fourier, il primo è questo e non so proprio come operare:
Determinare i valori di $alpha in R$ per i quali la funzione seguente ammette trasformata di Fuorier classica:
$f(x)=(e^(-5|x|) - e^(-7|x|))/(x*(log(1+x^2))^(\alpha))$
L'altro è: determinare la soluzione $u$ della seguente equazione integrale applicando la trasformata di Fourier
$u(t)-\int_{-infty}^{infty} H(s)*e^-s * (d u)/(dt)(t-s) ds= 1/(1+t^2) + e^(-|t|)$
Dove $H(s)$ è la funzione di Heaviside.
Su questo vorrei una revisione dei passaggi svolti:
il primo dubbio è se, chiamando $f(s)=H(s)*e^-s$ posso considerare la convoluzione di $\int_{-infty}^{infty} f(s) * (d u)/(dt)(t-s)ds$
da cui la trasformata di Fourier della convoluzione sarà $F(f(t)) * F((d u(t))/(dt))$
quindi scriverò $F(f(t))=\int_{-infty}^{infty} H(t)*e^-t * e^(-iomegat) dt=\int_{0}^{infty} e^-t * e^(-iomegat) dt=1/(iomega+1)$ ed inoltre
$F((d u(t))/(dt))=iomegaF(u(t))$
$F(1/(1+t^2))=pi e ^ (-|omega|)$
$F(e^-|t|)=2/(1+omega^2)$
arrivo quindi a scrivere
$F(u)-1/(iomega+1)*iomega*F(u)=pi*e^(-|omega|) + 2/(1+omega^2)$
da cui svolgendo i calcoli arrivo all' espressione $F(u)=iomega(pi e ^ (-|omega|) + 2/(1+omega^2))+(pi e ^ (-|omega|) + 2/(1+omega^2))$
distribuendo ed applicando poi le proprietà della trasformata di Fourier
$iomega pi e^(-|omega|)=iomega F(1/(1+t^2))=F(d(1/(1+t^2))/dt) $
e $iomega 2/(1+omega^2)=iomega F(e^(-|t|))=F(d(e^(-|t|))/dt) $
facendo l' antitrasformata dovrei avere allora in definitiva
$u(t)=d(1/(1+t^2))/dt + d(e^-|t|)/dt + 1/(1+t^2) + e^(-|t|)$
Grazie in anticipo.
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