Esercizi sulle serie di Taylor

[carlo1983]

Salve, dovrò affrontare l'esame di Analisi Matematica e mi trovo a dover risolvere i limiti per $x->0$. So quindi che dovrò applicare la formula di Taylor nella versione di McLaurin, ovvero:

$P_k(x) = (x_0)*(f'(x_0)*(x-x_0)^k)/(k!)$

Poichè gli esercizi mi sono dati della forma:

$\lim_{x->0} f(x)/g(x)$ con f(x) e g(x) funzioni composte di vari tipi.

Esempio:

$\lim_{x->0} (e^x-1+log_e(1-x))/(tg(x)-x)$

Io so che esistono gli sviluppi notevoli di McLourin che mi faciliterebbero la risoluzione, ad esempio so che:

$e^x = 1+x+(x^2) /2+(x^3)/6...+o(x^k)$
oppure
$log_e(1-x) = -x+(x^2)/2-(x^3)/6...+o(x^n)$

Poichè ho una memoria che lascia a desiderare vorrei poter risolvere i limiti con la formula di Taylor/McLaurin senza ricorrere agli sviluppi notevoli.

Le mie domande/perplessità sono:
1)E' possibile, dato che ho a che fare con dei limiti di x che tendono a 0, non considerare gli o piccoli poichè sono infinitesimi sommati a quantità di ordine maggiore, e quindi trascurabili?
2)La "solita" questione del "a quale ordine posso fermarmi" (possibilmente spiegata a chi non è molto aduso alla matematica).
3)Per i limiti fratti c'è qualche formula particolare di risoluzione o posso prima isolare (se lecito) le funzioni all'interno della funzione iniziale, poi considerarne i limiti (quindi vedendo la funzione iniziale come limite per $x-> 0$ di limiti di funzioni che anche esse hanno la $x-> 0$) e farne i singoli sviluppi di Taylor/McLaurin?
Io ho sempre fatto nel secondo modo e anche in questo caso avrei risolto così:

$\lim_{x->0} (e^x-1+log_e(1-x))/(tg(x)-x) = \lim_{x->0} ((\lim_{x->0}e^x)-1+(\lim_{x->0}log_e(1-x)))/((\lim_{x->0}tg(x))-(\lim_{x->0}x))$

Sviluppando fino al 1° ordine (lo so è poco, ma ho comunque risolto l'indeterminazione, quindi ipoteticamente potrei anche finirla qui secondo me) ho:

$\lim_{x->0} (1+x-1-x)/(x-x) => \lim_{x->0} 0/0 =>$ indeterminazione

Ma so che così non è poichè il limite tenderà a -1/2, quindi domando:
è corretto il mio modo di svolgere l'esercizio (sbaglio cioè solo a fermarmi al 1° ordine) o è sbagliata la tecnica?

Scusate la prolissità ma ho un pò di dubbi in testa. Grazie a chi tenterà di aiutarmi.

[mancamirko89]

detto in parole molto rustiche......una delle "regole" principali per l'utilizzo degli sviluppi di Taylor/Mclaurin per la risoluzione dei limiti è che la parte generale dello sviluppo non si deve elidere con altri termini della funzione.....dunque è sbagliato sviluppare solamente fino al primo ordine, poiché le parti principali di ogni sviluppo si annullano fra di loro....i consigli che ti posso dare da studente alle prime armi con questo argomento è di sviluppare il più possibile le funzioni, in modo da ottenere un approssimazione maggiore, ma comunque non esagerare in quanto potresti complicare eccessivamente i calcoli matematici....usare gli o-piccolo perché rappresentano un importante contributo all'approssimazione delle funzioni, impararne l'algebra, intuire eventuali suggerimenti all'interno della funzione stessa (spesso i gradi delle incognite al numeratore/denominatore sono ottime indicazioni per decidere quando bloccare gli sviluppi)...ciò detto, per risolvere lo sviluppo della funzione da te richiesta ti consiglio di sviluppare tutti i termini fino al terzo ordine, che è un buon grado di approssimazione per tutte le funzioni, sopratutto per la tangente.......sperò di non urtare la coscienza matematica di nessun mod/esperto/admin con il mio linguaggio "matematichese"

[carlo1983]

Nei miei tentativi di risoluzione avevo provato a fare lo sviluppo fino al 3° ordine dell'esercizio proposto ma ottenevo sempre la forma indeterminata del tipo 0/0.
Io lo svolgevo così:

$\lim_{x->0}(\lim_{x->0}e^x)-1+(\lim_{x->0}log_e(1-x))(\lim_{x->0}tg(x))-(\lim_{x->0}x) => $

$\lim_{x->0}(1+x+x^2/2+x^3/3+o(x^n)-1+(-x-x^2/2-x^3/3+o(x^n)))/(x+x^3/3+o(x^(2n))-x) => $

ottenendo:

$\lim_{x->0}\0/(x^3/3) => $

$\lim_{x->0}3*0/x^3 => 0/0 F.I. $

Aiuto, dove sbaglio?

[mancamirko89]

allora a me gli sviluppi danno cosi $f(x)=e^x=1+x+1/(2!)x^2+1/(3!)x^3+o(x^3)$
$f(x)=ln(1-x)=-x+1/2x^2-1/3x^3+o(x^3)$....quello della tangente è giusto come l'hai scritto....

[carlo1983]

Ah, ma allora sono a cavallo, (citazione di un mio prof di matematica delle superiori).
Grazie mille, rifarò i calcoli e vi farò sapere.

[carlo1983]

"mancamirko89":allora a me gli sviluppi danno cosi $f(x)=e^x=1+x+1/(2!)x^2+1/(3!)x^3+o(x^3)$
$f(x)=ln(1-x)=-x+1/2x^2-1/3x^3+o(x^3)$....quello della tangente è giusto come l'hai scritto....

"Mistero" risolto, e se vi dico come non ci credete, per puro caso mi è cascato l'occhio su delle dispense di un prof del politecnico di torino dove c'era lo stesso esercizio pari pari, ed io stavo leggendo l'esercizio sotto quando distrattamente ho notato che l'esercizio sopra era identico al mio, ed era ovviamente già svolto

Allora:

ti devo correggere poichè lo sviluppo che avevo scritto del 3° ordine della funzione $log(1-x)$ è corretto, ovvero:

$log(1-x)_3 = -x-x^2/2-x^3/3+o(x^n)$

Il tutto poi facilmente mi risulta essere $-1/2$, che è il risultato corretto, grazie mille e scusate il doppio post ma era obbligatorio farvi sapere se lo avevo risolto e come